北京新课改高考理科数学最后一题(创新题)汇编..doc

20．(03)（本小题满分14分）设是定义在区间上的函数，且满足条件，① ②对任意的、，都有 （Ⅰ）证明：对任意，都有 （Ⅱ）证明：对任意的都有 （Ⅲ）在区间上是否存在满足题设条件的奇函数且使得 若存在请举一例，若不存在，请说明理由． 20．(04)（本小题满分13分） 给定有限个正数满足条件T：每个数都不大于50且总和L＝1275．现将这些数按下列要求进行分组，每组数之和不大于150且分组的步骤是： 首先，从这些数中选择这样一些数构成第一组，使得150与这组数之和的差与所有可能的其他选择相比是最小的，称为第一组余差； 然后，在去掉已选入第一组的数后，对余下的数按第一组的选择方式构成第二组，这时的余差为；如此继续构成第三组（余差为）、第四组（余差为）、……，直至第N组（余差为）把这些数全部分完为止． （I）判断的大小关系，并指出除第N组外的每组至少含有几个数; （II）当构成第n（nN）组后，指出余下的每个数与的大小关系，并证明; （III）对任何满足条件T的有限个正数，证明：． （20）(05)（本小题共14分） 设f(x)是定义在[0, 1]上的函数，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0, x*]上单调递增，在[x*，1]上单调递减，则称f(x)为[0, 1]上的单峰函数，x*为峰点，包含峰点的区间为含峰区间． 对任意的[0，l]上的单峰函数f(x)，下面研究缩短其含峰区间长度的方法． （I）证明：对任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，则(0，x2)为含峰区间；若f(x1)≤f(x2)，则(x*，1)为含峰区间； （II）对给定的r（0＜r＜0.5），证明：存在x1，x2∈(0，1)，满足x2－x1≥2r，使得由（I）所确定的含峰区间的长度不大于 0.5＋r； （III）选取x1，x2∈(0, 1)，x1＜x2，由（I）可确定含峰区间为(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰区间内选取x3，由x3与x1或x3与x2类似地可确定一个新的含峰区间．在第一次确定的含峰区间为(0，x2)的情况下，试确定x1，x2，x3的值，满足两两之差的绝对值不小于0.02，且使得新的含峰区间的长度缩短到0.34. （区间长度等于区间的右端点与左端点之差） （20）(06)（本小题共14分） 在数列中，若是正整数，且，则称为“绝对差数列”. （Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）若“绝对差数列”中，，数列满足，，分别判断当时，与的极限是否存在，如果存在，求出其极限值； （Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项. 20．(07)（本小题共13分） 已知集合，其中，由中的元素构成两个相应的集合： ，． 其中是有序数对，集合和中的元素个数分别为和． 若对于任意的，总有，则称集合具有性质． （I）检验集合与是否具有性质并对其中具有性质的集合，写出相应的集合和； （II）对任何具有性质的集合，证明：； （III）判断和的大小关系，并证明你的结论。 20．(08)（本小题共13分） 对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列 ． 对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列； 又定义． 设是每项均为正整数的有穷数列，令． （Ⅰ）如果数列为5，3，2，写出数列； （Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明； （Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，． 20．(09)（本小题共13分） 已知数集具有性质；对任意的 ，与两数中至少有一个属于. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由； （Ⅱ）证明：，且； （Ⅲ）证明：当时，成等比数列..k.s.5. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （20）(10)（本小题共13分） 已知集合对于，，定义A与B的差为 A与B之间的距离为 （Ⅰ）证明：，且; （Ⅱ）证明：三个数中至少有一个是偶数 (Ⅲ) 设P，P中有m(m≥2)个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为(P). 证明：（P）≤. (20)(11)(本小题共13分) 若数列满足，数列为数列，记=. （Ⅰ）写出一个满足，且〉0的数列； （Ⅱ）若，n=2000，证明：E数列是递增数列的充要条件是=2011； （Ⅲ）对任意给定的整数n（n≥2），是否存在首项为0的E数列，使得=0？如果存在，写出一个满足条件的E数列；如果不存在，说明理由。 答案解析: 20．(03)本小题考查函数、不等式等基本知识，