北京林业大学线性代数期末试题04-10..doc

北京林业大学2004--2005学年第一学期考试试卷解答 填空题(每空3分,共30分) 1、设都是5阶矩阵,且,则 2、 3、二次型对应的矩阵为 . 4、若二次型正定，则的取值范围是. 5、设，，，，，， 则= 2 ； = 3 ； = 0 ；= 二、（8分）计算阶行列式 解： = 三、（8分）解矩阵方程 求 解:令 则 四、（10分）求a,b为何值时，方程组有唯一解、无解或有无穷多解？在有解时，求其通解． 无解 ，无穷多解. 五、（8分）求向量组的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示. 解： 六、（10分） 证明：是的一个标准正交基，所以有： (2)、过渡矩 因为 所以为正交矩阵 (3)、因为在基下的坐标是，所以下的坐标是 七、（12分）设实对称矩阵，问是否能与对角阵相似？若能与对角阵相似，求对角阵及可逆阵，使得，并求（为正整数）. 解： 的特征值为。 对应的特征向量为 对应的特征向量为 因为有四个线性无关的特征向量，所以可以对角化。 令，则=， 八、（10分）用非退化线性变换将二次型化为标准型. 解：，，∴. 有基础解系，，正交化、单位化得,； 有基础解系，取。 令，X=TY，则. 九、（6分）设实对称矩阵和是相似矩阵，证明：存在正交矩阵，使得. 证：设为的特征值，因为，所以和有相同的特征值，因此的特征值也是，又因为为实对称矩阵，故存在正交矩阵，使得 令，则为正交矩阵，且。 附：各章试题分值所占比例 Ch1 Ch2 Ch3 Ch4 Ch5 Ch6 16分 18分 18分 16分 16分 16分 北京林业大学　2006 –2007　学年第2学期试卷(A)解答 试卷名称： 线性代数Ⅱ 课程所在院系： 理学院 考试班级： 　学号： 姓名： 成绩： 一、填空题(将正确答案填在题中横线上)（每空3分，共计30分） 1、 2．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝，3α－2β＝__无_关。 4、设三阶可逆矩阵的特征值是、、， 则的特征值为1、、，且 5、设 A 是3阶方阵，且，则= 25 6、设 , 则 等 于 7、设三阶方阵 , 其 中 均是三维列向量, 则 8、设矩阵 , , , ， 则的秩等于__3_____。 二、计算行列式 (本大题8分) 三、解答题(本大题6分) 取何值时，矩阵的秩是2. 四、解答题(本大题10分) 五、解答题(本题8分 ) 求齐次线性方程组的一个基础解系. 解：对系数矩阵作初等变换： 得同解方程组, 取 得一个基础解系： 六、解答题(本题10分) 当 k 取何值时, 方程组 有解, 并求出此时的通解. 解： 当 时, 方程组有解且有无穷多解 此时 ， 七、证明题(本题6分 ) 八、证明题( 本题8分 ) . 证明： 根据 得 所以当 n为奇数时 得. 九 、解答题(本题14分) 设 ， （1）求的特征值和特征向量 （2）求正交矩阵， 使为对角阵， 并写出对角阵。 解：（1） 的 特 征 值 为 , 当 时， , 对 应 于 的 特 征 的 向 量 为 当 时 , , 对 应 于 的 特 征 向 量 为， , （2）将 单 位 化 , , 令 , 则 是 正 交 阵， 且 北京林业大学2002006学年第一学期考试试卷,则 答案： 2、,已知矩阵A的秩r(A)=2,则 答案： 3、设是可逆矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值等于 答案： 4、 从的基到基的过渡矩阵为　　　。 答案： 5、 在基，，下的坐标是_________。 答案： 6、 设为阶矩阵，若，则必有一特征值为__________________. 答案： 7、实对称阵的所有特征值为，则对应二次型的标准形为________________。 答案： 8、 二次型的规范形是_____________________。 答案： 二、（10分）计算阶行列式 答案： 三、（8分）解矩阵方程 求 答案：令 则 四、（10分）求向量组 的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示。 答案： 一个极大线性无关组为 五、（10