北京理工大学2005年硕士研究生入学考试试题_数学分析解答..doc

北京理工大学2005年硕士研究生入学考试数学分析试题 一、计算题（每小题6分，共计30分） 1．，。 解： 。 2．。 解：对任意的，，由积分中值定理有 所以， 又，由的任意性得。 3．设，讨论在点的连续性，可微性，偏导数存在性，偏导数的连续性。 解： 所以在点的连续性。 又 ， ， 所以 ， ， 即的偏导数存在，但 不存在，因为 不存在，即 的偏导数在处不连续，同理可证偏导数在处不连续。 又 ， 所以在处可微。 4、计算 先计算，为实数。 解：令，则 ， 所以 ， 因此更有 。 5．计算，其中 ， 解： 曲面方程为 ，， ， ，， =。 二、证明题（每小题10分，共计50分） 1．设0＜＜1，，证明 ()。 证明： 记，则，利用Stolz 定理得 () 。 2、设在上可微，且，，证明在之间最少存在一点，使得。 证明：不妨设，且，；在上连续，则存在最小值点，由，有存在使得，则有，同理可证，是上极小值，由费马定理有。 3．设，，证明，， 并证明当且仅当时等式成立。 证明：令，， 所以当时，，单减，故， 当时，，单增，故， 因此 ，即， ，且当且仅当时等式成立。 4． ， 在上可积。 证明:对任意的，由于，所以满足的仅有有限个，这样在上至多有个数，满足，取，满足，于是对上的任意分划，只要，此时所在的区间长度和为，故 ， 即在上可积。 5、是上正的连续函数，证明不等式 。 证明：对任意实数 有，即，两边积分得 ， 由的二次三项式恒大于0，知它的判别式，即 。 三、（12分）设是上可微分两次，且，，证明：在上可以找到两点使得。 证明：不妨设则存在，，使得 ， 记 若，则取即可； 若，则，作函数，连续 ，， 则由介值定理，使得； 3）若，则，作函数，连续 ，， 则由介值定理，使得。 四、（12）1、判断的敛散性。 2、证明当时绝对收敛，当时条件收敛，当时发散。 证明：1、对充分大的有，而当时 收敛，由比较判别法得收敛； 因为，又 ， 当时， 下面用反证法证明当时 ，发散。若收敛，则也收敛，所以有收敛，矛盾； 再由比较判别法得当时 ，发散； 因此积分，当时收敛，当发散。 2、，而， ，；所以是定积分，下面只要讨论。 当时，对充分大的，有，由于积分收敛，可知积分绝对收敛。 当时，利用等式 。 这时积分收敛；积分当时收敛，当发散。 当时，由于，因为级数发散，所以积分发散。 当时，因为有，由 Cauchy收敛原理，可知积分发散。 综上所述，当时绝对收敛，当时，积分条件收敛；当时，积分发散。 五、（14分） 1．设在连续，， ，证明在一致收敛0， 证明：由在连续，所以在有界，即存在，使得，，于是有当，；当，有，故，；显然连续。 又， ，即为单调递减数列，且连续，，由Dini定理有在一致收敛0，因此 在一致收敛0， 2、设, 则不论在是否收敛，只要在收敛，就成立 = ， 并由此证明： =。 证明： 由于在收敛，可知的收敛半径至少为， 所以的收敛半径也至少为。当， 利用逐项积分，得 到 。 由于收敛, 可知在连续, 令，得到。 对利用上述结果，就得到 。 六、（10分）设在上可积且绝对可积，证明 。 证明：对上的任意划分：，记分别为函数在上的最小值、最大值和振幅，且，则 ， 由在上可积且绝对可积，则存在，当时，有 ； 对于上述确定的划分 存在，当时，故当时，有 ， 即 ； 同理可证 。  9