北京科技大学计算方法试题2010年..doc

北京科技大学2010年 《科学与工程计算》 研究生考试试题答案 一、填空题(每空题2分，共20分) 1.为使的近似值的相对误差限不超过，则近似值至少需要取3位有效数字. 注： 2.为了提高数值计算精度, 当数非常接近0时, 应将改写为. 3.设，则=10，=9。 4. 若使用二分法求解方程在[0,1]上的根，要求误差小于，则至少需要迭代__10__步。 注：二分k步误差小于 5．已知函数f(-1)=-5, f(1)=0 , f(2)=7,用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x2的系数是 7/2 . 6.设，则差商=5。=0 7 . 求解初值问题时，若用改进欧拉方法的绝对稳定域中步长h不超过.0.2。 8.设是[0,2]上的三次样条函数，那么a=_9_ 二、 (20分) 分别用Jacobi迭代与高斯-赛德尔迭代法解线性方程组， 给出迭代格式与迭代矩阵，说明上述迭代是否收敛，若全两者均收敛问哪种方法收敛快。 解：本问题的Jacobi迭代格式为 （2分） 迭代矩阵为 （2分） （4分） （1分） Jacobi迭代收敛 （1分） 本问题的高斯-赛德尔迭代格式为 （2分） 迭代矩阵为 （2分） （3分） （1分） Seidel迭代收敛 （1分） Jacobi迭代收敛的快（1分） 三、（10分）给定数据（）， x 1 2 f(x) 1 1.1892 f’(x) 0.25 试用hermite插值多项式计算的近似值，并估计误差。 解：方法1 首先构造差商表： x 1 1 2 f(x) 1 1 1.1892 0.25 0.1892 -0.0608 那么，（每个插商2分） （1分） 最后计算可以得到。 （1分） （误差2分） 方法2 待定系数法 （1分）（1分） （1分） 解得 （3分） （1分） 最后计算可以得到。 （1分） 误差同方法1 方法3 基函数法 （2分） （2分） （2分） （1分） 最后计算可以得到。 （1分） 误差同方法1 四、(15分)已知数据表 －2 －1 0 1 2 －17 －14 －10 20 52 求最小二乘法求其二阶拟合多项式并计算平方误差。计算中间数值及结果保留6位小数。 解：　　 　　　　 解方程得 （每个非0系数1分，共6分） 二阶拟合多项式为 （a,b,c系数1分） 近似值 平方误差= （误差1分） 五、(10分)用牛顿法求的近似值，取初始值，要求误差 解：为的根利用牛顿法构造递推公式，（２分） ，计算结果如下， １分１分１分 2分2分 （１分） 六、(15分) 用改进的欧拉方法求解初值问题 取步长=0.25，计算, 并与准确值比较. 解: ,,公式2分 ,,,(2分) (2分),, (2分)真实值0.8332185564(1分) ,,(1分), (1分), (1分)真实值0.7320428480(1分) 误差约为0.0038435564，(1分)误差约为0.0045254652(1分) 七、(10分) 已知某连续可微函数的几点函数值如下表 x 0 0.125 0.25 0.375 0.5 0.625 0.75 0.875 1 f(x) 1 0.9961 0.9843 0.9646 0.9368 0.9006 0.8554 0.8006 0.7351 使用复化梯形求积公式及其外推公式估计，使估计值尽可能准确（注：每步计算结果保留小数点后6位。） 解： （1） （1分） （1分） （1分） （1分） 外推第一层 （1分） （1分） （1分） 外推第二层 （1分） （1分） 外推第三层 （1分） 1