北大附中高考数学专题复习导数与微分知识拓展（一）..doc

学科：数学 教学内容：导数与微分知识拓展（一） 【知识拓展】 1．若函数y＝f（x）是由参数方程所确定的，该怎样求它的导数？ 前面我们讨论了显函数和隐函数的导数，但在某些情况下，因变量y与自变量x的关系是通过另一参变量t由参数方程和来给出的，对于这类函数，有时可以把它很简单地表示成显函数的形式，但有时就比较麻烦甚至不可能．因此，我们有必要找出这类函数的求导方法． 设的反函数，并设它满足反函数求导的条件，于是可把y看作复合函数． 由复合函数与反函数的求导法则，得 思路启迪 根据二阶导数的定义因此要求只要把y对x的导数求出来，再将与x＝t－1联系，重复利用参数方程求导公式，求出对x的导数，即也即是我们要求y对x的二阶导数 如果函数y＝f（x）是由极坐标方程γ＝γ（θ）给出来的，则可把极坐标方程先化成参数方程，再求导数． 即x＝γ（θ）cosθ,y＝γ（θ）sinθ,从而 2．什么是罗尔定理？ 我们先考察一个函数，容易验证这个函数满足： （Ⅰ）在闭区间[－1，1]上连续． （Ⅱ）在开区间（－1，1）内可导． （Ⅲ）f（－1）＝f（1）＝1． 这个函数的导数得x＝0∈（－1，1）即在开区间（－1，1）内存在点x＝使得（如图3－14）． 一般地，我们有（即罗尔定理）． 若函数f（x）满足条件（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a,b）内可导；（Ⅲ）在区间[a,b]的两个端点的函数值相等，即f（a）＝f（b），则至少存在一点使得 罗尔定理的几何意义是：两个端点的纵坐标相等的处处存在切线（端点除外）的连续曲线y＝f（x）上，至少有一点的切线是水平的．如图3－15． 显然f（x）满足罗尔定理的三个条件，其中a＝－1,b＝3．存在点ξ＝1∈（－1，3），使即符合罗尔定理的结论． 3．什么是拉格朗日中值定理？ 在罗尔定理的几何意义中，可以看出在罗尔定理的条件下，曲线上至少有一条切线是水平的，这时曲线的两个端点的连线也是水平的（f（a）＝f（b）），因此也可以说成是至少有一点处的切线平行于两个端的连线．这个结论可以推广到更一般的情况，即有下面更一般的结论（即拉格朗日中值定理）． 若函数f（x）满足：（Ⅰ）在闭区间[a,b]上连续；（Ⅱ）在开区间（a，b）内可导；则至少存在一点ξ∈（a，b），使 容易验证，F（x）在[a，b]上满足罗尔定理的条件，从而至少存在一点ξ∈（a，b），使 拉格朗日中值定理的几何意义是：处处存在切线(两个端点除外)的连续曲线y＝f(x)上，至少有一条切线平行于两个端点的连线(如图3—16)． 在拉格朗日定理的证明中，采用的方法是先作出一个辅助函数，故这种方法也称辅助函数法．辅助函数法也称为构造法．它是数学分析中一种重要的证题方法，这种方法的基本思想是先构造一个与欲证结果有关的辅助函数，然后再由已知条件、概念和定理，推断所要证明的结论的正确性． 拉格朗日定理是应用最广泛的微分中值定理，也是微分学中最重要的定理之一，它的结论常称为拉格朗日中值公式．为运用方便，可把这个公式写成下列几种形式． 对于这些公式要灵活运用，比如：①不必局限于ab；②若某函数f（x）在开区间（a，b）（有限或无限）内处处有导数，则对可以断言，在与之间存在ξ使 拉格朗日定理建立了函数f（x）在[a，b]上的平均变化率（整体性质）与该函数在（a，b）内某点处导数（局部性质）之间联系，从而为利用导数解决整体性问题提供了可能性．需要说明的是：在拉格朗日定理中，只指出“中间值”ξ（或θ）的存在性，而没有提供确定ξ（或θ）的方法． 例1 证明：若f（x）在区间（a，b）内的导数恒为零，那么f（x）在区间（a，b）内是一个常数． 思路启迪 要证明f（x）在（a，b）内是一个常数，只要能证明：对于（a，b）内的任意不相同的两点都有即可． 规范证法 任取，不妨设，因为f（x）在（a，b）内可导，从而f（x）在上连续，在内可导，由微分中值定理，至少存在一点，使得 即函数f（x）在（a，b）内是一个常数． 利用拉格朗日定理可以证明不等式，常用的步骤为： （1）选择适当的函数f（x）及相应区间[a，b]． （2）验证条件，应用拉格朗日定理得 例2 设f（x）在[0，c]上定义，存在且单调递减，f（0）＝0．证明：对于0≤a≤b≤a＋b≤c，恒有f（a＋b）≤f（a）＋f（b）． 思路启迪 对函数f（x）在区间[0，a]与[b,a＋b]上分别应用拉格朗日中值定理，再结合的单调递减性即可证得． 规范证法 （1）若a＝0时显然成立． （2）若a0时， 再由f（x）在[b,a＋b]上应用拉格朗日定理得 因单调递减，故对ξa≤by，有注意到a≥0，故有，于