连续型随机变量及其概率密度函数[精选].ppt

(2). 正态分布 的图形特点 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线，特点是“两头小，中间大，左右对称” 决定了图形的中心位置， 决定了图形 中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 由密度函数的表达式，分析正态分布的图形特点 即整个概率密度曲线都在 x 轴的上方. (3) ▲ 显然: 以μ为对称轴，并在 处达到最 大值: ▲ 令: x=μ+c, x=μ-c (c0) f (μ+c ) = f (μ-c) 且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ) 证明: 分别代入 可得: 以μ为对称轴，并在 处 达到最大值 故得: ▲ 这说明：曲线 f (x)向左右伸展时，越来越贴近 x 轴。即 f (x)以 x 轴为渐近线。 因为当 x→ ?∞时，f (x) → 0 f (x)以 x 轴为渐近线 (对 f (x)求导即可求得) 为 f (x)的两个拐点的横坐标 x = μ ? σ ▲ (4). 正态分布的分布函数 由分布函数定义得出正态分布，若 则 分布函数是 其图形为: 正态分布由它的两个参数μ和σ唯一确定， 当μ和σ不同时，对应的是不同的正态分布。 标准正态分布 下面介绍一种最重要的正态分布— (5). 标准正态分布 其密度函数和分布函数常用 和 表示： 的正态分布为标准正态分布. 称 其图形为: ▲ 密度函数 分布函数 (一般正态分布与标准正态分布的关系) 引理: 证明: 作一个线性变换 标准正态分布的重要性 ▲ 任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换 转化为标准正态分布. 由此可得: 若 ▲ 即证得： 则其分布函数 注： 根据引理，只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题。而现已编制了 的表，可供查用。请见教材P382附表2 教材P382附表2为标准正态分布函数数值表，借助于附表2 ，可以查表计算一般正态分布的概率问题。 关于正态分布表 ▲ 表中给出的是 时, Φ(x)的值. 当 时有： ~ N(0,1) 注： 若 X～N (0,1), ◆ 则有： 若 ◆ 则有： ◆ 对任意区间 则有： 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明：X 的取值几乎全部集中在 [ -3, 3 ] 区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到 0.3% 当X～N(0,1)时， P( |X| 1) = 2 (1)- 1 = 0.6826 P( |X| 2) = 2 (2)- 1 = 0.9544 P( |X| 3) = 2 (3)- 1 = 0.9974 (6) 3 原则 将上述结论推广到一般的正态分布,有： 时， 可以认为： Y 的取值几乎全部集中在 区间内。这在统计学上称作“3 准则” （三倍标准差原则） 不知你们是否注意到街头的一种赌博活动? 用一个钉板作赌具。 高 尔 顿 钉 板 试 验 值得一提的是： 虽然很少有人会 去关心小球下落 位置的规律性， 人们可能不相信 它是有规律的。 而一旦试验次数 增多并且注意观 察的话，就会发 现，最后得出的 竟是一条优美的 曲线，这条曲线 就近似我们将要 介绍的正态分布 的密度曲线。 已知自动车床生产的零件的长度X(毫米)服从正 态分布 ,如果规定零件的长度在 毫米之间为合格品. 求:生产零件是合格品的概率 解: 例1. 所求的概率为： 查附表2 例2. 从旅馆到飞机场沿 A 路走(路程断，交通拥挤) 所需时间(分钟) 沿 B 路走（路程 长，阻塞少)所需时间(分钟) 若现在只有 30分钟. 问：分别选择哪一条路为好? 解: 依题意，选择所需时间超过规定时间的概率较 小的路线为好. 当只有30分钟可用时: A 路: B 路: 结论：此时应选择A路 液体的温度X (以℃计)是一个随机变量，且 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的 容器内，调节器调整在 例3. (1) 若 , 求 X 小于89的概率. (2) 若要求保持液体的温度至少为80的概率 不低于0.99，问 d 至少为多少? 解: (2) 按题意需求d满足: 反查正态分布表，由于表中无0.01的 的值 故采用如下方法处理: 查表可知: 由此可得: 故得： 现 公共汽车车门的高度是按男子