连续性随机变量及其概率密度[精选].ppt

则其分布函数为 指数分布的应用 指数分布具有“无记忆性”。所以，又把指数分布称为“永远年轻”的分布。 对任意 s , t 0 , 有 “无记忆性”： 若X 服从参数为θ 的指数分布 ，则 指数分布常作为各种“寿命”分布的近似。 例 设某日光灯的使用寿命服从参数θ =2000的指数分布（单位：h） （1）任取一根这种灯管，求能正常使用1000h以上的概率。 （2）某灯管已近正常使用了1000小时，求还能使用1000小时以上的概率。 其中μ， σ （ σ 0）为常数，则称X 服从 参数为μ，σ 的正态分布或高斯分布。 记作 若连续型随机变量 X 的概率密度为 3、 正态分布 正态分布密度函数的图形 其分布函数为 正态分布的应用 若随机变量 X受到众多相互独立的随机因素 的影响，而每一个别因素的影响都是微小的， 且这些影响可以叠加，则 X 服从正态分布。 正态分布是应用最广泛、最重要的一种分布。 例如 各种测量的误差； 人的生理特征； 工厂产品的尺寸； 农作物的收获量； 海洋波浪的高度； 金属线的抗拉强度； 热噪声电流强度； 学生们的考试成绩； …… 都服从或近似服从正态分布。 正态分布密度函数的几何特性 （1）曲线关于直线 x = ? 对称： f (? + x) = f (? - x)； （2）在 x = ? 时， f (x) 取得最大值 （3）在 x = ?±? 时，曲线 y = f (x) 在对应的点处 有拐点； （4）曲线 y = f (x) 以 x 轴为渐近线； （5）曲线 y = f (x) 的图形呈单峰对称状； （1） ? — 位置参数 即固定? ，改变? 的值，则f (x) 的形状不变， 只是位置不同，沿着 x 轴作平移变换。 正态分布密度函数 f (x) 的两个参数： （2） ? — 形状参数 即固定? ，改变? 的值，则 f (x) 图形的 对称轴不变，而形状在改变。 ? 越小，图形越高越瘦； ? 越大，图形越矮越胖。 当 μ = 0，σ = 1 时，称随机变量 X 服从 标准正态分布。 其概率密度和分布函数分别为 标准正态分布 标准正态分布密度函数的图形 标准正态分布分布函数的图形 重要结论 若 ，则 1、 3、 2、 证明 1、 的分布函数为 故 2、由 1 得 3、由 2 得 标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布。 根据上述结论，只要将标准正态分布的分布 函数制成表，就可以通过查表解决一般正态 分布的概率计算问题。 说明 例5 设随机变量 X ~ N (0 , 1) ，试求 （1） ； 解 （1） （2） （2） 解 （1） 例6 设随机变量 X ~ N (2 , 9) ，试求 （1） ； （2） ； （3） （2） （3） 若 X ~ N (μ , σ) ，则 3σ— 准则 可以看到，X 的取值几乎全部集中在 区间内，这在统计学上 称作 3σ— 准则。 这说明，X 的取值几乎全部集中在[-3,3] 区间内。 若 X ~ N (0 , 1) ，则 这一节我们介绍了随机变量的分布函数 分布函数 分布函数 的性质 离散型 随机变量 的分布函数 概率函数 与分布函数 的关系 连续型 随机变量 的分布函数 概率密度 与分布函数 的关系 作业 19,20，21，24，25,26 §4 连续型随机变量及其概率密度 一 连续型随机变量的概念与性质 在线段上随机投点的位置、温度、气压、电压、 电流等物理量等等，理论上可以取到某个区间 的任何实数值。 对这种类型的随机变量，不能象离散型随机变 量那样，以指定它取每个值概率的方式给出其 概率分布，而是通过给出所谓“概率密度函数” 的方式，从而得到连续型随机变量的概念。 定义 如果对于随机变量 X的分布函数 F ( x )， 存在非负函数 f ( x ) , 使对于任意实数 x 有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f ( x ) 称为 X 的概率密