递推算法[精选].doc

递推算法(隐藏)着很多本质上的关联。我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。 教学过程设计 递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。 在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。If 求解初始条件 f1 then begin {倒推} 由题意(或递推关系)确定最终结果fn； 求出倒推关系式fi-1=g(fi)； for i←n downto 2 do fi-1←g(fi)； {从最终结果fn出发进行倒推} 输出倒推结果fl； end{then} else begin {顺推} 由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件)； 求出顺推关系式fi=g(fi-1)： for i←2 to n do fi←g(fi-1)； {由边界条件f1出发进行顺推} 输出顺推结果fn； end；{else} 由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件(或最终结果)除试题已明确给定外，都是通过对问题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。 2．递推关系的建立 递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给出的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系。其中核心问题是如何建立递推关系。 建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面(或后面)几项的关系式，以及初始项的值(或最终结果值)。它不是一种抽象的概念，而是针对某一具体题目或一类题目而言的。 3、问题举例 【例 1】 编写一个程序，试对给出的任意一个 n(n0), 输出铺法总数。 【问题分析】（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。 （2）当n=1时，只能是一种铺法 如左图，铺法总数表示为X1=1； （3）当N=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为X2=2； （4）当N=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3. 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。 ???? （5）推出一般规律：对一般的n，要求X可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为X1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法为X-2。从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有： ???????????? X=Xn -1+Xn -2 （N2） ???????????? 1=1???????????????????? ???????????? X2=2 以上就是问题求解的递推公式。任给N都可以从中获得解答。例如 N=5， ?????????? X3=X2+X1=3 ?????????? X4=X3+X2=5 ?????????? X5=X4+X3=8 下面是输入 N，输出X1Xn的Pascal程序： ?? program p12_20; ???? var? x,y,z:longint; ????????? i,n:integer; ???? begin ???????? write(Input n:); ?????