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2013年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷) 文 科 数 学 乐享玲珑，为中国数学增光添彩！ 免费玲珑3D画板，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用 第Ⅰ卷 一．选择题: 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，，则 （A） （B） （C） （D） 2．设变量，满足约束条件则目标函数的最小值为 （A） （B） （C） （D） 3．阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出n的值为 (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4 4．设, 则 “”是“”的 (A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 5．已知过点P(2,2) 的直线与圆相切, 且与直线垂直, 则 (A) (B) 1 (C) 2 (D) 6．函数在区间上的最小值是 (A) (B) (C) (D) 0 7．已知函数是定义在R上的偶函数, 且在区间单调递增. 若实数a满足, 则a的取值范围是 (A) (B) (C) (D) 8．设函数. 若实数a, b满足, 则 (A) (B) (C) (D) 二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分. 9．i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = . 10．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 . 11．已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 . 12．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 . 13．如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 . 14．设a + b = 2, b0, 则的最小值为 . 三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为，，，用综合指标评价该产品的等级．若，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下： 产品编号 质量指标 产品编号 质量指标 （I）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率； （II）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品， （i）用产品编号列出所有可能的结果； （ii）设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标都等于4”，求事件发生的概率． 16．(本小题满分13分)在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, . (Ⅰ) 求b的值; (Ⅱ) 求的值. 17． (本小题满分13分) 如图，三棱柱中，侧棱底面，且各棱长均相等，，，分别为棱，，的中点． （I）证明：平面； （II）证明：平面平面； （III）求直线与平面所成角的正弦值． 18．(本小题满分13分) 设椭圆的左焦点为，离心率为，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为． （I）求椭圆的方程； （II）设，分别为椭圆的左、右定点，过点且斜率为的直线与椭圆交于，两点．若，求的值． 19． (本小题满分14分)已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列. (Ⅰ) 求数列的通项公式; (Ⅱ) 证明. 20．(本小题满分14分) 设, 已知函数 (Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增; (Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明. 参考答案 一、选择题 1．D解：因为,所以，选D. 2．A解：由得 。作出可行域如图 平移直线，由图象可知当直线经过点D时，直线的截距最小，此时最小，由，得，即代入得，选A. 3．D解：第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，，满足条件输出，选D. 4．A解：若，则，即。若时，所以是的充分而不必要条件，选A. 5．C解：设直线斜率为，则直线方程为，即，圆心到直线的距离，即，解得。因为直线与直线垂直，所以， 即,选C. 6．B解：当时，，，所以当时，函数的最小值为，选B. 7．C解：因为函数是定义在R上的偶函数，且，所以，即，因为函数在区间单调递增，所以，即，所以，解得，即a的取值范围是，选C. 8．A解：由得，分别令，。在坐标系中分别作