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圆周角及圆内接四边形 ? ［学习目标］ ? 1. 圆周角的概念 ??? 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 ??? 圆周角必须具备两个特征：（1）顶点在圆上；（2）角的两边都和圆相交，二者缺一不可。 ? 2. 圆周角定理 ??? 一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。 ??? 定理的证明要分类，因为一条弧所对的圆心角唯一，而它所对的圆周角却有无数个，这无数个圆周角与圆心位置有三种：（1）圆心在圆周角的一边上；（2）圆心在圆周角的内部；（3）圆心在圆周角外部。 ? 3. 圆内角 ??? 角的顶点在圆内的角叫圆内角。 ??? 圆内角的度数等于它所对弧与它对顶角所对弧的度数之和的一半。 ??? 如下图圆内角∠3的度数为∠1＋∠2，∠1的度数是的一半，∠2的度数是的一半。 ? 4. 圆外角 ??? 角的顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角，叫圆外角。 ??? 圆外角的度数等于它所截两条弧度数之差的一半。 ??? 如下图，圆外角∠3的度数为∠2－∠1，∠2的度数是的一半，∠1的度数是的一半。 ? 5. 四边形的外角，四边形的对角 ??? 四边形一边延长线与相邻一边组成的角叫四边形的外角。 ??? 四边形中不相邻的两个角互称为对角。 ??? 所有顶点都在同一个圆上的多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆。 ? 6. 圆内接四边形的性质定理 ??? 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。 ? 【典型例题】 ? 例1. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BOD＝110°，则∠BCD＝_________。 ??? 解：∵∠BOD＝110°，∴∠BAD＝55° ??? 又∠BAD＋∠BCD＝180° ??? ∴∠BCD＝180°－55°＝125° ? ? 例2. 已知：如图，∠APC＝∠BPC＝60°，则∠BAC＝__________。 ? ??解：∵∠APC＝∠BPC＝60° ??? ∴∠APB＝120°，BC＝AC ??? ∵四边形APBC内接于⊙O ??? ∴∠ACB＝60° ??? ∴△ABC是等边三角形 ??? ∴∠BCA＝60°，故填60° ??? 点拨：本题较综合，考察：①相等的圆周角所对弦相等，②圆内接四边形对角互补，③一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 ? ? 例3. 半径为4的圆上一段弧长等于半径为2的圆的周长，则这段弧所对圆心角是___________。 ??? 解：半径为2的圆的周长是，半径为4的圆的周长为 ??? ∴这段弧长正好是周长的一半 ??? ∴这段弧所对圆心角180° ??? 故填180° ?? ?点拨：本题有难度，要理解圆心角的度数等于它所对弧度数。 ? ? 例4. 已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙I是△ABC的内切圆，∠A＝80°，那么∠BOC＝___________，∠BIC＝__________。 ??? 解：如图 ??? ∵∠A＝80° ??? 由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得： ??? ∠BOC＝2∠A＝160° ??? 故第一个空应填160°。 ??? 又∵在△ABC中，∠A＝80° ??? ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－80°＝100° ??? 又∵ ??? ??? ∴在△IBC中，∠BIC＝180°－50°＝130° ??? 故第二个空填130°。 ??? 点拨：本章重点应用了三角形内切圆的有关定理，构造三角形解题，是一道较好的题。 ? ? 例5. 已知：如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝25°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于D，交BC于E，则的度数为___________。 ??? 解：连结CD，在Rt△ABC中，∠B＝25°，∠A＝65° ??? ∵CA＝CD ??? ∴∠CDA＝∠A＝65° ??? ∴∠ACD＝180°－2×65°＝50° ??? ∴∠DCE＝90°－50°＝40° ??? ∴的度数为40°，故应填40° ??? 点拨：本题应用的知识点比较多，要头脑清醒，综合各知识点，灵活运用。 ? ? 例6. 已知：如图所示，△ABC内接于⊙O，D、E在BC边上，且BD＝CE，∠1＝∠2。 ??? 求证：AB＝AC ??? 点悟：要证AB＝AC，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角∠1＝∠2，想到了作∠1、∠2的对弧，构造弦等、弧等的条件。 ??? 证明：分别延长AD、AE，它们分别交⊙O于F、G，连结BF、CG ??? ∵∠1＝∠2 ??? ∴ ??? ∴BF＝CG， ??? ∴∠FBC＝∠GCE ??? ∴△BFD≌△CGE ??? ∴∠F＝∠G， ??? ∴AB＝AC ?? ?点拨：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等