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2．1 怎样解题 怎样回顾 例说费马点 怎样解题？怎样在解题中学会正确的思维、推理和计算？一个好的解法是如何想出来的？长期从事数学教学的著名美籍匈牙利数学家和数学教育家波利亚(George Polya，1887～1985)，从数学研究和数学教育两个角度出发，对数学思维的一般规律进行了深入的研究. 编著了《怎样解题》、《数学的发现》、《数学与猜想》等名著，权威地解答了这个令人困惑的问题. 在《怎样解题》一书中，波利亚把解题的思维过程分解为一张怎样解题表. 提出了解题的四个阶段，即“理解问题”、“拟定计划”、“执行方案”和“回顾”. 这四个阶段的思维过程可以用下列八个字加以概括：理解、转化、实施、反思. 第一阶段的理解问题是解题思维活动的开始. 第二阶段的拟定计划是解题思维活动的核心，是探索解题方向、尝试转化问题的发现过程，也是思维策略的选择和调整过程. 第三阶段的执行方案是解决问题过程的实现，它包含着一系列基础知识和基本技能的灵活运用和思维过程的具体表达，是解题思维活动的重要组成部分. 第四阶段的回顾问题往往容易为人们所忽视，它是发展数学思维的一个重要方面，是一个思维活动过程的结束，也包含另一个新的思维活动过程的开始. 在这张解题表中，波利亚对第二步即“拟定计划”的分析最为引人入胜. 他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题. 最终得出一个求解方案. ”他把寻找并发现解法的思维过程分解为五条建议和23个具有启发性的问题，它们就好比是寻找和发现解法的思维过程的“慢镜头”，使我们对解题的思维过程看得见，摸得着. 下面将江苏省2008年高考试题中的一个问题，略加改编，作为例题来说明怎样解题. 例 某地有三家工厂，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点，斜边AB=20km,为了处理三家工厂的污水，现要在该三角形区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O 处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO、BO、CO，请你确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短. 第一步 理解题目，也就是审题. 明白已知条件是什么？有哪些已知量、未知量？它们存在何种关系？可以画张图吗？图形的位置关系怎样？有何性质？结论要求什么？如何从条件向结论转化？ 这道题，显然应该画张图. 这样比较直观. 因为O与A、B等距离，所以O点在AB的中垂线CD上，因为△ABC是等腰直角三角形，AB=20km，所以CD=10km. 设排污管道的总长为ykm，则y=AO+BO+CO，问题的实质就是要求y取最小值时O点的位置，这就是一个最值的应用问题. 第二步 拟定计划，这是关键的一步. 波利亚在《怎样解题》里，提出的建议和启发性的问题实质是启发我们怎样去回想、联想、猜想、……，去合情推理，通过推理把问题转化为熟悉的、简单的、已经解决的问题. 总之拟定计划就是要通过合情推理去发现问题的解法，因此合情推理是拟定计划、发现解法的精髓. 怎样求最值呢？联想，回忆求最值的方法，一般来说求最值常用的方法是建立函数关系，然后求导数. 那么选择什么为自变量？只要观察O点在CD上移动时，什么在 变化？CO（相当于D0）、∠OAD等都在变化. 选择哪个作为自变量好？不能确定，就都试试. 要考虑到我们的目的，得到的函数应该易于求最值，或者是易求导，或者是易利用基本不等式等等. 第三步 执行方案，就是对已建立起来的数学模型用数学方法求解的过程. 本题若设OD=x(km)，则OC＝10－x， 所以OA=OB=， 所求函数关系式为y=10-x+2，(0≤x≤10). 若设∠OAD=(rad)，则OA=OB=， OD=10tan，OC=10-10tan， 所求函数关系式为 y=+10-10tan=+10，（0≤≤). 比较这两个函数关系，结合自己的学习情况，选择一个，用求导数的方法求最值. 比如，选择第二个函数. y′= =. 令y′=0，得sin=，因为0≤≤，所以=. 当(0,)时，y′0，y是的减函数； 当(,)时，y′0，y是的增函数； 所以当=时，有最小值y. 这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处. 第四步 回顾，这是不可忽视的一步，检验解答过程是否有差错？检验这个解是否正确？能否简化解题过程，使题解得更完美？或者可以用另一个方法再求解一次. 波利亚指出：“你也许能找到一个更好的新解答，找出新的有趣的事实. 无论如何，如果你养成了以这种方式回顾和仔细检查你的解答的习惯，你将会获得一些条理分明、随时可以使用的知识，并且将会提高你的解题能力. ” 波利亚还指出：“一个大的发现可以解决一个大的问题，但在解决任何一个问题里都有一点点发现. ”我们若能在解题中积累这个一