非参数回归模型与半参数回归模型[精选].doc

第七章 非参数回归模型与半参数回归模型 第一节 非参数回归与权函数法 一、非参数回归概念 前面介绍的回归模型，无论是线性回归还是非线性回归，其回归函数形式都是已知的，只是其中参数待定，所以可称为参数回归。参数回归的最大优点是回归结果可以外延，但其缺点也不可忽视，就是回归形式一旦固定，就比较呆板，往往拟合效果较差。另一类回归，非参数回归，则与参数回归正好相反。它的回归函数形式是不确定的，其结果外延困难，但拟合效果却比较好。 设Y是一维观测随机向量，X是m维随机自变量。在第四章我们曾引进过条件期望作回归函数，即称 g (X) = E (Y|X) （7.1.1） 为Y对X的回归函数。我们证明了这样的回归函数可使误差平方和最小，即 （7.1.2） 这里L是关于X的一切函数类。当然，如果限定L是线性函数类，那么g (X)就是线性回归函数了。 细心的读者会在这里立即提出一个问题。既然对拟合函数类L(X)没有任何限制，那么可以使误差平方和等于0。实际上，你只要作一条折线(曲面)通过所有观测点(Yi，Xi)就可以了是的，对拟合函数类不作任何限制是完全没有意义的。正象世界上没有绝对的自由一样，我们实际上从来就没有说放弃对L(X)的一切限制。在下面要研究的具体非参数回归方法，不管是核函数法，最近邻法，样条法，小波法，实际都有参数选择问题(比如窗宽选择，平滑参数选择)。 所以我们知道，参数回归与非参数回归的区分是相对的。用一个多项式去拟合(Yi，Xi)，属于参数回归；用多个低次多项式去分段拟合(Yi，Xi)，叫样条回归，属于非参数回归。 二、权函数方法 非参数回归的基本方法有核函数法，最近邻函数法，样条函数法，小波函数法。这些方法尽管起源不一样，数学形式相距甚远，但都可以视为关于Yi的线性组合的某种权函数。也就是说，回归函数g (X)的估计gn(X)总可以表为下述形式： （7.1.3） 其中｛Wi(X)｝称为权函数。这个表达式表明，gn(X)总是Yi的线性组合，一个Yi对应个Wi。不过Wi与Xi倒没有对应关系，Wi如何生成，也许不仅与Xi有关，而且可能与全体的｛Xi｝或部分的｛Xi｝有关，要视具体函数而定，所以Wi(X)写得更仔细一点应该是Wi(X；X1，…,Xn)。这个权函数形式实际也包括了线性回归。如果，则，也是Yi的线性组合。 在一般实际问题中，权函数都满足下述条件： （7.1.4） 如果考虑在第五章介绍的配方回归与评估模型曾有类似条件，不妨称之为配方条件，并称满足配方条件的权函数为概率权。 下面我们结合具体回归函数看权函数的具体形式。 1．核函数法 选定Rm空间上的核函数K，一般取概率密度。如果取正交多项式则可能不满足配方条件。然后令 （7.1.5） 显然。此时回归函数就是 （7.1.6） 2．最近邻函数法 首先引进一个距离函数，用来衡量Rm空间中两点u = (u1，…，um) 和v= (v1，…，vm) 的距离‖u-v‖。可以选欧氏距离，也可以选。为了反映各分量的重要程度，可以引进权因子C1，…,Cn，使｛Ci｝也满足配方条件。然后将距离函数改进为 （7.1.7） （7.1.8） 现在设有了样本(Yi，Xi)，i=1,…,n，并指定空间中之任一点X，我们来估计回归函数在该点的值g(X)。将X1，…，Xn按在所选距离‖·‖意义下与X接近的程度排序： （7.1.9） 这表示点与X距离最近，就赋以权函数k1；与X距离次近的就赋予权函数k2。…，等等。这里的n个权函数k1,…,kn也满足配方条件，并且按从大到小排序，即 （7.1.10） 就是 （7.1.11） 若在｛‖Xi-X‖, i=1,…,n｝中有相等的，可将这n个相等的应该赋有的权取平均。比如若前两名相等，‖X1-X‖=‖X2-X‖, 就令W1 = W2=。 这样最近邻回归函数就是 （7.1.12） ki尽管是n个常数，事先已选好，但到底排列次序如何与X有关，故可记为ki(X)。 三、权函数估计的矩相合性 首先解释矩相合性的概念。如果对样本 (Yi，Xi)，i=1,…,n构造了权函数Wi = Wi (X)=WI(X;X1,…,Xn)，有了回归函数g(X)的权函数估计，当Y的r阶矩存在(E|Y|r∞)时，若 （7.1.13） 则称这样的权函数为矩相合的权函数。 在什么样的条件下构造的权函数是矩相合的呢? Stone(1977)提出了很一般的，几乎是充分必要的条件。下面我们考虑其充分性条件，并限