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证明题 一、方程的根 例如： 又例：证明方程，在区间内有两个实根 （3）利用罗尔定理证明方程的根存在 把所给方程一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。 二、证明不等式 例如 （3）利用函数图形的凹凸性证明不等式 例如 证 （4）利用拉格朗日中值定理（罗尔定理）证明不等式。 把式子变形出现两个函数值之差，构造函数，确定在所给范围内满足拉格朗日中值定理，求出导数，对导数进行放大和缩小 例如 以上方法的共同特点是：选取变量构造辅助函数，研究辅助函数的单调性、凹凸性、极值等。构造辅助函数的基本思想是：从欲证问题的结论入手，通过逆向分析，去寻找一个满足题设条件和结论要求的函数。在做此类题时，证明代数式不等式一般用中值定理；证明函数不等式一般用单调性；证明函数与数之间的不等式一般用最大、最小值求证。 三、证明等式成立 （1）利用罗尔定理（拉格朗日中值定理）证明等式成立 把所给等式一端减去一端，再把变量ξ换成x，观察哪个函数求导之后为这个代数式，这个函数就是要构造的函数；然后根据题设确定区间，验证是否满足罗尔中值定理。 例如 （2）其它 举例 1. 设，试证，并计算. 证明： ; 即有，故. ， 而， 所以. 2.上连续，有： 证明：令，则，；于是，有： 3. 若函数在上连续，在内可导且，试证：至少存在一点，使得成立. 证明：构造函数，因在上连续，所以函数在上也连续，而在内有意义， 又因为，，所以在上满足罗尔中值定理， 故 至少存在一点 ，使得，即，而.所以有成立。 4. .证明方程在区间内有唯一实数根． 证明：令，则在上有意义，即有在上连续；而，由零点定理知，至少存在一点，使得，即方程在内至少有一个实数根． 另一方面，，知在内是单调上升的，从而方程在内至多有一个实数根． 综述，方程在内有唯一实数根，即方程在区间内有唯一实数根。 5. 当 时， 提示：令在上满足拉格朗日中值定理。 6. 求证：当 证：设 所以单调增加 所以 7. 证明:方程ln（1+x2）=x－1有且仅有一个实根. 证：由故方程的成立范围为[1，+∞）； 令F(x)=ln(1+x2)―x+1, 因，F′(x)= 所以，函数是单调递减的. 又，当x=1时，F（1）=ln20， , 又， ∴曲线y=F(x)与x轴有唯一的交点； 即方程有且仅有一个实根. 得证. 8. 证明：。 证明:构造函数显然在区间上满足拉格朗日定理的条件， 即,其中 显然有 ， 故 成立. 9.证明： 构造函数，----（1分） 由于在有意义， 所以函数在连续且可导，且，即在上满足罗尔中值定理，-----（4分） 故存在，使得， 即.------（5分） 10. 试证：当时，. 证明:构造函数,---（1分） 显然，函数在上连续且可导,满足拉格朗日定理,从而存在使得-----（3分） 即 ---（4分） 由因为,-----（5分） 故 .----（6分） 11. 对于任意，试证：都成立 . 证明:构造函数,则 令,得唯一驻点, 又因为，所以函数曲线是凹的，且在处有最小值 . 所以 即恒成立. 说明：利用单调性证明不等式，其基本方法是： 若要证明：当有. 可令，如果满足下面的条件：（1）；（2）当时，有；则由为单调增加函数可知，当时，， 即. ，，，（x0）,求证. 证： 12. 设在点处连续，且（为常数），证明在点处可导； 证 ，则 ， 又因为在点处连续，所以， 则 ， 于是 ， 所以在点处可导，且． 13. 证明：当 时,； 证一 令，则 ，， ， 所以在上连续且单调增加，则， 所以在上连续且单调增加，则， 所以在上连续且单调增加，则， 即 ， 也即 ． 证二 令， 则 ， 当 时，有 ， 所以当时，函数单调增加，有， 即 ， 也即 ． 14. 证明. 证 令,则,，且当时，; 当时，. 于是 = ==． 15. 设在上有连续导数，且,，求证 ; 证一 ， 移项，有