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1. 描述某系统的微分方程为y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f (t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=ε(t)，求y(0+)和y(0+)。解：将输入f(t)=ε(t)代入上述微分方程得 y(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) （1） 利用系数匹配法分析：上式对于t=0-也成立，在0-t0+区间等号两端δ(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2δ(t)，故y(t)应包含冲激函数，从而y(t)在t= 0处将发生跃变，即y(0+)≠y(0-)。 但y(t)不含冲激函数，否则y(t)将含有δ(t)项。由于y(t)中不含δ(t)，故y(t)在t=0处是连续的。 y(0+) = y(0-) = 2 对式(1)两端积 故 由于积分在无穷小区间[0–，0+]进行的，且y(t)在t=0连续， 故 于是由上式得 [y(0+) – y(0–)] + 3[y(0+) – y(0–)]=2 考虑 y(0+) = y(0–)=2 ，所以 y(0+) – y(0–) = 2 ， y(0+) = y(0–) + 2 =2给定微分方程式，如果已知分别求两种情况下此方程的特解。解: (1)由于f(t)=t2，故特解函数式为 这里，P2， P1， P0，将此式代入方程得到 等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有 联解得到 所以，特解为(2)当f(t)= et 时 特解为yp(t)=P et ，这里，P是待定系数。 代入方程后有： 2. 描述某系统的微分方程为 y(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。解: (1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。齐次解为 yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t当f(t) = 2e –t时，其特解可设为 yp(t) = Pe – t 将其代入微分方程得 Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e – t 全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2 最后得全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0 （2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。故其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e–2t 代入微分方程可得 P1e–2t = e–2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为 yp(t) = (t + P0)e–2t 全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t = (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t 将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。 3. f (t) = e t,（-∞t∞），h(t) = (6e-2t – 1)ε(t)，求yzs(t)。解： yzs(t) = f (t)﹡h(t) 当t τ，即τ t时，ε(t -τ) = 0 4. f1(t) 如图, f2(t) = e–tε(t)，求f1(t)* f2(t) 解： f1(t)﹡f2(t) = f1(t)﹡f2(–1)(t)f1(t) =δ (t) –δ (t –2) f1(t)﹡f2(t)=(1– e–t)ε(t) – [1– e–(t–2)]ε(t–2) 5. 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h(t) 解：由原方程可得 考虑到该动态方程的特征方程为，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此设