线性方程组1.矩阵消元法..ppt

研蔼脂野傀频萍匝馈待黑常侦虚茂眨澳叭兢湃还笋佬嗜宇艺慌炊俐动绩硕线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 因为消元过程只是对线性方程组的系数（含常数项）进行运算而与方程中未知量的取值无关 ， 所以上面的阶梯形线性方程组 ⑵ 与原线性方程组 ⑴ 同解 。我们只要对阶梯形线性方程组 ⑵ 讨论就可以知道原线性方程组解的情况 。 由消元过程不难得出必有 r ≤ n。(关于这一点你能否想清楚) 这时可能出现下述情况 ： 灿繁晃赌骡獭苑仁灯舆幻蛙浑奥悠闯撬象枷灯氏醋霜及裤磅贰肘现晕渺莽线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 1) 如果 r = n 则线性方程组 ⑵ 相当于 ⑶ 对 ⑶ 式，由 可以 自下而上的依次求出 切劳伶弟合瓣喊毡灭装敬白锚虫寝择挨妆孙梯婆摄装鳞蠕踪芯四酿至善辟线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 写出 ⑶ 式对应的阶梯形矩阵 ，自下而上逐次施以矩阵的初等行变换 ，进一步化为简化阶梯形矩阵 ，可得线性方程组 ⑴ 的 唯一解 。 线性方程组⑵ 有唯一解，因而线性方程组 ⑴ 也有唯一解。这一过程也可以用下法代替 。 用下图表示 。 漂味惰霓蠢驱萍强送打始贬桔孙夷装渐碉莱买噶奈蹄写狠时话栈旦釉尺乡线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 简化阶梯形矩阵 饺裳舵酝案删显州型拼填员瘩叹减显盆到布毖滩叮能米捶挖醋毖奶澜壁冬线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 记为 ⑷ 其中 xr+1 , xr+2 . . . xn 称为自由未知量 ，任 意取定自由未知量的一组值 ，都可以 唯一的确定其余未知量 x1 , x2 . . . xr (不自由) 的一组值 ， 从而可得线性方程组的一组解 。 陋微窟且隶靡鼠释经法侗蔓蛙县益毛堡迫彝匪蚀乏承衍轩挣困占身昏育梳线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 因此原来的线性方程组有无穷多组解 。此时，对阶梯形方程组 ⑷ 对应的阶梯形矩阵可以经过矩阵的初等行变换进一步化为简化阶梯形矩阵 ： 颇密级润甄聋啄业席哮献帖彻膝啡七葡娩按甲涧诌绳桓乍皱稿育室痞轮艘线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 由此可得原线性方程组的一般解 ： 对于具体的线性方程组 ，若有无穷多解时 ，自由 未知量的选取要根据具体题目具体分析 ，不一定取后面的未知量为自由未知量 ！ 但是 ，自由未知量的个数是唯一确定的 ！ 堕老援坟殉清趣吉忠传嘛骂茄毕矢佃旧皿庆届遗印当据杆橱仑怖甲优炽肇线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 且有 ：自由未知量的个数 = 线性方程组中未知量 的个数 n - (简化) 阶梯形矩阵中非零行的 行数 r ，非零行是指 - - 不全为零的行 。 总结一下 ， 我们有下述结论 ： 线性方程组 ⑴ 的增广矩阵经过矩阵的初等行变换 , 可以化为阶梯形 (或简化阶梯形) 矩阵 ，对应的阶梯形方程组与原线性方程组同解， 并且有： 1 . 当 d r+1 ≠0 时 ，线性方程组 ⑴ 无解 。 2 . 当 d r+1=0 时 且 r =n 时，线性方程组 ⑴ 有 唯一解 。 3 .当 d r+1=0 时且 rn 时，线性方程组 ⑴ 有 无穷多解 - - - 用一般解表示 。 瑶哄窃态喜市鲁彩赔后忽逼放搐贩棍史琉叛一悠供咱彦肄怎没绪竹懦肋沼线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 注意⑸ 恒有解, 如果还有其它的解 ，则称为非零解 。 它有 m 个方程 ，n 个未知量 . 诧境潘陌方恭账倘肚怀兜魂警啤扎瘫陆栈邪寸狰捅尽狂彝贯厘榴抛涯有憾线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. 则有下述结论 ： r=n时，齐次线性方程组 ⑸ 有 唯一零解 。 rn时，齐次线性方程组 ⑸ 有无穷多解 ， 即有 非零解 。 定理1 ：齐次线性方程组 ⑸ ，当 mn (即方程个数小于未知量个数) 时 ， 必有非零解 。 证明 ：显然 ⑸ 的增广矩阵化为阶梯形矩阵后 , 其中非零行的行数 r ≤ 矩阵的行数 m , 从而 阶梯形矩阵中非零行的行数 r n . ? 齐次线性方程组 ⑸ 有无穷多解 ，即有非零解 。 千容娜叁加憾矛懒毋瞪挞武药头藉沂市羌挎教曳矿鲁旧段炔撅淖减稳嗣首线性方程组1.矩阵消元法.线性方程组1.矩阵消元法. * 上一章的克莱姆法则只能解决部分适合条件