高三复数复习专题[精选].doc

高三复数专题复习： 一、复数的概念及运算： 1、复数的概念：（1）虚数单位； （2）实部：，虚部：； （3）复数的分类()； （4）相等的复数： 2、复数的加、减、乘、除法则： （1）加减法具有交换律和结合律； （2）乘法具有交换律、结合律、分配律； （3）除法：。 3、复数的共轭与模： （1）；是纯虚数，反之不成立； （2）复数与点是一一对应关系，另：与关于轴对称，表示对应点与原点的距离。 4、复数共轭运算性质：； 5、复数模的运算性质：。 6、复数的模与共轭的练习：。 7、 重要结论 对复数z 、、和自然数m、n，有 ，， (2) ，，，； ，，，. (3) ，，. (4)设，，，，， 8.一些几何结论的复数形式 二、复数的三角形式： 1、复数的三角形式概念： 2、复数的三角形式的乘法公式： 即：两个复数相乘，积的模等于两个复数的模之积，积的辐角等于两个复数的辐角之和。 3、复数的三角形式的乘方公式（棣莫佛定理） 即：复数的n（n∈N）次幂的模等于模的n次幂，辐角等于这个复数的辐角的n倍，这个定理称为棣莫佛定理。 4、复数的三角形式的除法公式 即：两个复数像除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角。 三、复数中的方程问题： 1、实系数一元二次方程的根的情况： 对方程（其中且），令， 当时，方程有两个不相等的实数根。 当=0时，方程有两个相等的实根； 当时，方程有两个共轭虚根：。 2、复系数一元二次方程根的情况： 对方程； 3、一元二次方程的根与系数的关系： 若方程（其中且）的两个根为，则； 四、例题精选 例1：已知，求； 例2：已知，求； 例3：设为虚数，为实数，且。 （1）求的值及的实部的取值范围； （2）证明：为纯虚数； 例4：已知关于的方程有两个根，且满足。 （1）求方程的两个根以及实数的值； （2）当时，若对于任意，不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。 例5：已知复数满足，其中为虚数单位，，若，求的取值范围。 例6：设虚数满足。 （1）求的值； （2）若为实数，求实数的值； （3）若在复平面上对应的点在第一、第三象限角平方线上，求复数。 例7：已知方程有两个根和，。 （1）若，求实数； （2）若，求实数； 例8：已知复数是方程的根，复数满足，求的取值范围。 例9：关于的方程有实根，求一个根的模是2，求实数的值。 例10：设两复数满足（其中且，），求是虚数。 （1）求证：是定值，求出此定值； （2）当时，求满足条件的虚数的实部的所有项的和。 例11：设两个复数满足，并且是虚数，当时，求所以满足条件的虚数的实部之和。 例12：计算：（1） （2） （3） 例13：给定复数，在，这八个值中，不同值的个数至多是___________。 例14：已知下列命题 （1）；（2）为纯虚数；（3）； （4）；（5）；（6）. 其中正确的命题是____________； 例15：是否存在复数同时满足条件：①；②的实部、虚部为整数。若存在，求出复数，若不存在，说明理由。 例16：设是已知复数，为任意复数且，则复数对应的点的轨迹是( ) A、以的对应点为圆心、1为半径的圆； B、以的对应点为圆心，1为半径的圆； C、以的对应点为圆心、为半径的圆； D、以的对应点为圆心，为半径的圆； 例17：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( )。 A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线 例18：复平面内，满足的复数所对应的点的轨迹是 ( ) A、椭圆 B、双曲线 C、一条线段 D、不存在 例19：满足方程的复数对应的点的轨迹是 ( ) A、四个点 B、四条直线 C、一个圆 D、两个圆 例20：设复数，当在内变化时，求的最小值。 例21：若复数和满足：，且。和在复平面中对应的点为和，坐标原点为O，且，求面积的最大值，并指出此时的值。 例22：已知复数，i为虚数单位，且对于任意复数，有。 （1）试求m的值，并分别写出a和b用x、y表示的关系式； （2）将作为点P的坐标，作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程； （3）是否存在这样的直线：它上面的任一点