高三数学导数专题例题及知识点总结[精选].doc

王增浩数学第五课时 导数专题 一、函数的单调性、极值和最值基本思路：定义域 →→ 疑似极值点 →→ 单调区间 →→ 极值 →→ 最值 基本方法：一般通法：利用导函数研究法 特殊方法：（1）二次函数分析法；（2）单调性定义法 ，求导函数，并确定的单调区间． 解：． 令，得． 当，即时，，所以函数在和上单调递减． 当，即时，的变化情况如下表： 0 当，即时，的变化情况如下表： 0 所以，时，函数在和上单调递减，在上单调递增， 时，函数在和上单调递减． 时，函数在和上单调递减，在上单调递增． 第二组 本组题旨在强化对导函数零点进行分类讨论的意识、能力和技巧 【例题】的图象过点，且函数的图象关于y轴对称.（Ⅰ）求的值及函数的单调区间；（Ⅱ）若，求函数在区间内的极值. 解：（Ⅰ）由函数图象过点，得，……… ① 由，得，则； 而图象关于轴对称，所以－，所以， 代入①得 .于是. 由得或，故的单调递增区间是，； 由得，故的单调递减区间是. （Ⅱ）由（Ⅰ）得，令得或. 当变化时，、的变化情况如下表： f(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 增 极大值 减 极小值 增 由此可得：当时，在内有极大值，无极小值； 当时，在内无极值； 当时，在内有极小值，无极大值； 当时，在内无极值. 综上所述，当时，有极大值，无极小值；当时，有极小值，无极大值；当或时，无极值. 点评：本题是前面两个例题的变式，同样考查了对导函数零点的分类讨论，但讨论的直接对象变为了函数自变量的研究范围，故此题思路不难，旨在帮助学生加深对此类问题本质的认识，并提升其详尽分类，正确计算的水平. 【例题】已知函数，a＞0， 的单调性; (II)设a=3，求在区间[1，]上值域.其中e=2.71828…是自然对数的底数. 解：（Ⅰ）由于,令得 当，即时，恒成立，∴在上都是增函数. 当，即时， 由得或 ∴或或 又由得，∴ 综上,当在上都是增函数； 当在及上都是增函数， 在是减函数. （2）当时，由（1）知，在[1，2]上是减函数，在[上是增函数. 又 ∴函数在区间[1，]上的值域为. 点评： （1）第一问在前面例题的理论基础上，进一步加大了运算的难度，涉及到了换元法，分母有理化等代数技巧； （2）第二问将问题延伸到了函数值域上，过程比较简单，是一个承上启下的过渡性问题. （二利用函数的单调性、极值最值求参数取值范围基本思路：定义域 →→ 单调区间、极值、最值 →→ 不等关系式 →→ 参数取值范围 基本工具：导数、含参不等式解法、均值定理等 【例题】已知函数的图象在与轴交点处的切线方程是. （I）求函数的解析式； （II）设函数，若的极值存在，求实数的取值范围以及函数取得极值时对应的自变量的值. 解：（I）由已知,切点为(2,0),故有,即 ……① 又，由已知得……② 联立①②，解得.所以函数的解析式为 （II）因为令 当函数有极值时，方程有实数解则，得. ①当时，有实数，在左右两侧均有，故无极值 ②当时，有两个实数根情况如下表： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 所以在时，函数有极值； 当时，有极大值；当时，有极小值； 【例题】 设，函数． （Ⅰ）若是函数的极值点，求的值； （Ⅱ）若函数，在处取得最大值，求的取值范围． 解：（）． 因为是的极值点，所以，即，因此． 经验证，当时，是函数的极值点． （）由题设，． 当在区间上的最大值为时，，即．故得 反之，当时，对任意， ， 而，故在区间上的最大值为．综上，的取值范围为．，曲线在点处的切线方程为. （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值. 解：（Ⅰ）方程可化为，当时，； 又，于是，解得， 故 （Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为 ，即 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为； 令，得，从而得切线与直线的交点坐标为； 所以点处的切线与直线所围成的三角形面积为； 故曲线上任一点处的切线与直线所围成的三角形面积为定值6. 二、的变式与转化 函数的零点问题 通性通法：函数最值控制法 特殊方法：（1）二次函数判别式法；（2）零点存在性定理【例题】设函数． （1）略（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围. 解：因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 【例题】已知二次函数的导函数的图像与直线平行且在=－1处取得最小值m－1(m).设函数 （1）若曲线上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为,求