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新课标2016年高考专题讲座三 数列求和 基本知识概述 1．求数列的前n项和的方法 (1)公式法 ①等差数列的前n项和公式 Sn＝＝na1＋d. ②等比数列的前n项和公式 Sn＝ (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项． (4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 2．常见的裂项公式 (1)＝－； (2)＝－. 3. 常用求和公式：: ① … ②… ③… ④… ⑤ ⑥… ⑦ … ⑧ … ⑨ … 解题方法指导 题型一　分组转化求和 【例1】已知数列{an}是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{an}的通项公式并求其前n项和Sn. 【跟踪训练1】求和Sn＝1＋＋＋…＋. 题型二　错位相减法求和 【例2】已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4. (1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Sn. 【跟踪训练2】已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10. (1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和． 题型三　裂项相消法求和 【例3】在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an (1)求Sn的表达式；(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn. 【跟踪训练3】已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N＋. (1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn. 【典型例题】已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn(其中k∈N＋)，且Sn的最大值为8. (1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和Tn. 题型四 综合例题选评 【例4】设等比数列的公比为q，前n项和Sn0（n=1，2，…） （1）求q的取值范围； （2）设记的前n项和为Tn，试比较Sn和Tn的大小. 【例5】设数列{an}的前n项和Sn=an-2n+1+,n=1,2,3,….. (I)求首项a1与通项an; (II)设Tn=, n=1,2,3,…..,证明: 【例6】已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，… 证明数列｛lg(1+an)｝是等比数列； 设Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及数列｛an｝的通项； 记bn=，求｛bn｝数列的前项和Sn，并证明Sn+=1. 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共32分.只有一项符合题目要求. 1．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为 (　　) A. B. C. D. 答案　B 2.已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a110，a10·a110，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于 (　　) A．20 B．17 C．19 D．21 答案　C 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　) A. B. C. D. 答案　A 4.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和Sn为 (　　) A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1 C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n2－2 答案　C 5.数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于 (　　) A．2