[西安交通大学数理统计研究生试题.doc

2009(上)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体和相互独立，且都服从正态分布，而和是分别来自和的样本，则服从的分布是_______ . 解：． 2，设与都是总体未知参数的估计，且比有效，则与的期望与方差满足_______ . 解：． 3，“两个总体相等性检验”的方法有_______ 与____ ___. 解：秩和检验、游程总数检验． 4，单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假定是_______ . 解：正态性、方差齐性、独立性． 5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计是_______ . 解：． 二、单项选择题（每小题3分，共15分） 1，设为来自总体的一个样本，为样本均值，为样本方差，则____D___ . （A）； （B）； （C）； （D）. 2，若总体，其中已知，当置信度保持不变时，如果样本容量增大，则的置信区间____B___ . （A）长度变大； （B）长度变小； （C）长度不变； （D）前述都有可能. 3，在假设检验中，分别用，表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量一定时，下列说法中正确的是____C___ . （A）减小时也减小； （B）增大时也增大； （C）其中一个减小，另一个会增大； （D）（A）和（B）同时成立. 4，对于单因素试验方差分析的数学模型，设为总离差平方和，为误差平方和，为效应平方和，则总有___A___ . （A）； （B）； （C）； （D）与相互独立. 5，在一元回归分析中，判定系数定义为，则___B____ . （A）接近0时回归效果显著； （B）接近1时回归效果显著； （C）接近时回归效果显著； （D）前述都不对. 三、（本题10分）设总体、，和分别是来自和的样本，且两个样本相互独立，和分别是它们的样本均值和样本方差，证明 ， 其中. 证明：易知 ， ． 由定理可知 ， ． 由独立性和分布的可加性可得 ． 由与得独立性和分布的定义可得 ． 四、（本题10分）已知总体的概率密度函数为其中未知参数, 为取自总体的一个样本，求的矩估计量，并证明该估计量是无偏估计量． 解：（1），用代替，所以 ． （2），所以该估计量是无偏估计． 五、（本题10分）设总体的概率密度函数为，其中未知参数，是来自总体的一个样本，试求参数的极大似然估计． 解： 当时，，令，得 ． 六、（本题10分）设总体的密度函数为 未知参数，为总体的一个样本，证明是的一个UMVUE． 证明：由指数分布的总体满足正则条件可得 ， 的的无偏估计方差的C-R下界为 ． 另一方面 ， ， 即得方差达到C-R下界，故是的UMVUE． 七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于0.005公斤．在一批苹果中随机取9个苹果称重, 得其样本标准差为公斤, 试问：（1）在显著性水平下, 可否认为该批苹果重量标准差达到要求? （2）如果调整显著性水平，结果会怎样？ 参考数据: , , , ． 解：（1），则应有： ， 具体计算得：所以拒绝假设，即认为苹果重量标准差指标未达到要求． （2）新设 由 则接受假设，即可以认为苹果重量标准差指标达到要求． 八、（本题10分）已知两个总体与独立，，，未知，和分别是来自和的样本，求的置信度为的置信区间. 解：设分别表示总体的样本方差，由抽样分布定理可知 ， ， 由分布的定义可得 ． 对于置信度，查分布表找和使得 ， 即 ， 所求的置信度为的置信区间为 ． 九、(本题10分)试简要论述线性回归分析包括哪些内容或步骤． 解：建立模型、参数估计、回归方程检验、回归系数检验、变量剔除、预测． 2009(上)《数理统计》考试题(B卷)及参考解答 一、填空题（每小题3分，共15分） 1，设总体服从正态分布，而是来自的样本，则服从的分布是_______ . 解：． 2，是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是_______ . 解：． 3，分布拟合检验方法有_______ 与____ ___. 解：检验、柯尔莫哥洛夫检验． 4，方差分析的目的是_______ . 解：推断各因素对试验结果影响是否显著． 5，多元线性回归模型中，的最小二乘估计的协方差矩阵_______ . 解：． 二、单项选择题（每小题3分，共15分）