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[解析几何解题技巧
解析几何新题型的解题技巧
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1.(2006年安徽卷)若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,则的值为( )
A. B. C. D.
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程:椭圆的右焦点为(2,0),所以抛物线的焦点为(2,0),则,故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.
例2.(2006年全国卷II)已知△ABC的顶点B、C在椭圆+y2=1上,顶点A是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在BC边上,则△ABC的周长是( )
A.2 B.6 C.4 D.12
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.
解答过程:由椭圆方程+y2=1知
故选C.
例3.(2006年四川卷)如图,把椭圆的长轴
分成等份,过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部
分于七个点,是椭圆的一个焦点,
则____________.
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解答过程:由椭圆的方程知
∴
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
(1)椭圆的离心率e=∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e=∈(1, +∞) (e越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题.
例4.(2006年福建卷)已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是 ( )
A. B. C. D.
考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e=∈(1, +∞)的有关知识.
解答过程:
例5.(2006年广东卷)已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于( )
A. B. C. 2 D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e=∈(1, +∞) 的有关知识的应用能力.
解答过程:依题意可知 .
考点4.求最大(小)值
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6.(2006年山东卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则y12+y22的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系,以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点P(4,0)的直线为
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性,都是考试的重点内容,要能够熟练运用;常用的解题技巧要熟记于心.
例7.已知P是椭圆上的点,是椭圆的两个焦点,且,求的面积.
解答过程:依题意得:,在中由余弦定理得
=,
解之得:,则的面积为.
小结:(1)圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重;
(2)求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中,正、余弦定理非常重要.
例8.已知动点P到两个定点、的距离之差为,
(1)求点P的轨迹方程;
(2)对于x轴上的点M,若满足,则称点M为点P对应的“比例点”,求证:对任意一个确定的点P,它总有两个比例点.
解答过程:(1)因为、且,
所以,点P的轨迹是以A,B为两焦点,实轴长为8的双曲线的右支,
且,则,
则点P的轨迹方程是:
(2)设,,双曲线的离心率,
因为,由焦半径公式和距离公式得:
=,
整理得:,
因,则方程有两个不等实根,
即对于点P它总对应两个比例点.
小结:(1)应用圆锥曲线定义时,要注意其限制条件,在椭圆中,;在双曲线中且注意差的绝对值,若无绝对值,则曲线为双曲线的一支;
(2)焦半径公式在计算中非常方便,但双曲线的焦半径不要求记忆,可以利用定义进行转化;
(3)求解对应点的个数,通常转化为方程解的个数,这时,判别式就非常重要.
例9.已知椭圆,AB是它的一条弦,是弦AB的中点,若以点为焦点,椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点,若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足,求:
(1)椭圆E的离心率;(2)双曲线C的方程.
解答过程:(1)设A、B坐标分别为,
则,,二式相减得:
,
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