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小学数学思想方法第11讲用字母表示数.
小学数学思想方法
第十一讲 用字母表示数,一般化与特殊化
用字母表示数,可以把数和数量关系简明地表示出来,有利于对数和数量关系进行分析。
例1 把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方。这个和数是多少?
解:设原来的两位数是xy,交换十位数字与个位数字后的两位数就是yx,两数的和为xy+yx=10x+y+10y+x=11×(x+y)。这个和是11的倍数,所以也是112=121的倍数。因为两个两位数的和小于200,所以要求的和数就是121。
例2 有一个电话号码是6位数,其中左边3位数字相同,右边3位数字是3个连续的自然数,6个数的和恰好等于末尾的两位数。这个电话号码是多少?
解:设这个电话号码是aaabcd。因为b、c、d是三个连续的自然数,所以d=c+1或d=c-1。六个数字的和3a+3c=10c+d可简化为3a+3c=11c+1(式①),或3a+3c=11c-1(式②)。由①,得3a=8c+1,于是c=1,a=3。由②,得3a=8c-1,于是c=2,a=5。因此,这个电话号码是333012或555321。
例3 一个自然数被8除余1,所得的商被8除也余1,再把第二次所得的商用8除余7,最后得到的商是a。又知道这个自然数被17除余4,所得的商被17除余15,最后得到的商是a的2倍,求这个自然数。
解:依题意,[(8a+7)×8+1]×8+1=(17×2a+15)×17+4,整理得512a+457=578a+259,即66a=198,a=3。于是,这个自然数是[(8a+7)×8+1]×8+1=1993。
例4 将一个四位数的数字顺序颠倒过来,得到一个新的四位数,新数比原数大7902。那么,所有符合条件的原四位数的和是多少?
解:设原四位数是abcd,新四位数是dcba,依题意,
于是,由千位得d>a≥1;由个位得10+a-d=2,即d-a=8,所以d=9,a=1;由十位得b-c=1。从而原数可以是1109、1219、1329、1439、1549、1659、1769、1879、1989共9个数,它们的和是13941。
对已有的知识和结论作一般化的思考,这种思维方法就叫做一般化方法。反之,也可以把解决特殊情况的方法或结果推广到一般问题上,而获得一般性问题的解决,这种思维方法叫做特殊化。
例5 小于8且分母为24的最简分数共有多少个?这些最简分数的和是多少?
解:(1)小于8且分母为24的最简真分数可以表示为,其中n=0,1,2,3,4,5,6,7;r=1,5,7,11,13,17,19,23。由n与r的搭配可知,小于8且分母为24的最简真分数共有8×8=64(个)。
(2)上述所有这些分数的和是:(+++…+)+(++…+)+…+(++…+)=×[8×(1+5+7+11+13+17+19+23)+8×24×(1+2+3+4+5+6+7)]=32+224=256。
例6 360这个数的约数有多少个?这些约数的和是多少?
解:(1)360=2×2×2×3×3×5=23×32×5,在求360的约数时,质因数2可以“不取”、“取1个”、“取2个”、“取3个”共有3+1种选择,同理质因数3有2+1种选择,5有2种选择,所以360的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=24(个)。
(2)这些约数的和是(1+2+22+23)×(1+3+32)×(1+5)=1170。
例7 +++++=1。请找出6个不同的自然数,分别填入6个方框中,使这个等式成立。
解:可以采取“一分为二”的方法:
1=+=++=+++=++++,根据-=可得=+=,于是,1=+++++。
(答案不惟一。)
例8 某公共汽车线路上有15个车站(包括起点站和终点站),公共汽车从起点站到终点站的行驶过程中,每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有1人下车。要使汽车在行驶中乘客都有座位,那么在车上至少要安排多少个座位?
解:按照题意列出下表:
第几站 1 2 3 …… 13 14 15 上车人数 14 13 12 …… 2 1 0 下车人数 0 1 2 …… 12 13 14 留有人数 14 26 36 …… 26 14 0 观察发现,如果用k表示站的序数,那么,汽车从第k站开出时,留在车上的乘客人数可以用k(15-k)表示。试算得出,当k=7或8时,k(15-k)=7×8=56,或k(15-k)=8×7=56,k(15-k)的值最大,所以车上至少要安排56个座位。
练习:
1、四位数3AA1能被9整除,求A。
2、老师报出一个四位数,要求先把这个四位数的数码顺序倒排后得到一个新的四位数,再把这两个四位数相
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