小学数学竞赛学习材料(四年级下期)..doc

小学数学竞赛学习材料 四年级下期 第一讲 定义新运算 同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。 例1　设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。 求4△3，3△4。 (2)这种运算有“交换律”吗？ (3)求(17△6)△2，17△(6△2)。 (4)这种运算有“结合律”吗？ (5)如果已知5△b＝1，求b。 解：像这样的题目叫做“定义新运算”。这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。仍然要先做括号里面的。所以： (1)4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。 (2)由(1)可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。 (3)(17△6)△2＝(3×17－2×6)△2＝(51－12)△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。 17△(6△2)＝17△(3×6－2×2)＝17△(18－4)＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。 (4)由(3)可知，(17△6)△2与17△(6△2) 的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。 (5)因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。 通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。 例2　如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝(a＋b)÷2，那么(3*5)＃7＝？ 解：“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。“*”的意义显然是求a、b的平均数。 因为3*5＝(3＋5)÷2＝4，所以，(3*5)＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。 例3　规定：a＆b＝a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1)，其中a、b表示自然数。 (1)求1＆100的值； (2)已知x＆10＝75，求x。 解：(1) a＋(a＋1)＋(a＋2)＋…＋(a＋b－1) ＝1＋(1＋1)＋(1＋2)＋…＋(1＋100－1) 　　　＝1＋2＋3＋…＋100 　　　＝(1＋100)×100÷2 　　　＝101×100÷2 　　　＝5050。 (2) x＋(x＋1)＋(x＋2)＋…＋(x＋10－1)＝75 　　　　　　　10x＋(1＋2＋…＋9)＝75 　　　　　　　　　　　　 10x＋45＝75 　　10x＝75－45 　　　　　　　　　　　　　　 10x＝30 　　　　　　　　　　　　　　　　　　x＝30÷10 x＝3 　　例4　羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示： 　　羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。 　　以上运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。 　　小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示： 　　羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。 　　这个运算的意思是：羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。 对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号内先算。运算的结果或者是羊，或者是狼。那么求下式的结果： 羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼)。 解：羊△(狼★羊)★羊△(狼★狼) 　＝羊△羊★羊△狼 　＝羊★羊△狼 　＝羊△狼 　＝狼 练　习　一 1．设a、b都表示数，规定：a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。试计算： (1)5△6； 6△5。 2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。 3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？ 4．规定a☆b＝(a＋3)×(b－5)，求5☆(6☆7)的值。 5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。 6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？ 7．设a、b都表示数，规定：a△b＝2×a＋b÷2。求 (1)10△6； (2)7△(4△8)。 8．规定A＠B＝B×B－A，计算(2＠3)＠(4＠5)。 9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？ 10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知