小学数学竞赛学习材料(四年级暑期)..doc

小学数学竞赛学习材料 四年级暑期 第一讲　　幻方 相传在三千多年前的夏禹时代，从洛水（就在我们河南洛阳附近）浮出一只神龟，背上有一个神秘的图形如下： 经研究，原来是一个数字方阵图： 　　　　　　　　　　　　 　　4 9 2 　　　　　　　　　　　　 　3　5 7 　　　　　　　　　　　　　 8 1 6 进一步计算又发现：它的每行、每列，甚至每条对角线上三个数字的和都是15。真是奇妙无比。于是，人们就把它叫做“幻方”。“幻”含有梦幻、神奇、美妙、理想的意思。把那个相等的和就叫做“幻和”。 后来，幻方从国内传到国外，引起了人们极大的兴趣，并把它推广到更为一般的情况：如果有n2个数，可以排成一个n行、n列的方阵，并且，它的n行、n列和2条对角线上，n个数的和都相等，就把这个数阵叫做“n阶幻方”。显然，其幻和等于这n2个数的和除以n。 我国宋朝数学家杨辉对幻方进行过深入的研究，取得了巨大的成绩。在他的著作里，对三阶幻方的制做方法，有这样四句话：“九子斜排，上下对易，左右相更，四维突出”。这四句话的意思是：把九个数从小到大斜着排列成正方形，上下两个顶点上的数交换，左右两个顶点上的数交换，四条边中间的数向外面突出。左下图就是这个过程的示意图，右下图是最后得到的结果： 　　　　　　四维突出 　　　① ④ ② 九子斜排　　　　④ ⑨ ② ⑦ ⑤ ③ ③ ⑤ ⑦ ⑧ ⑥　　　左右相更 ⑧ ① ⑥ 　 ⑨ 　　　　　　　　　上下对易 例1　用5、7、9、11、13、15、17、19、21这九个数作一个三阶幻方。 解：用上面的方法得到： 　　　　　　　　　　　　　　　 7 21 11 17 13 9 15 5 19 幻和是（5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19）÷3＝39。经检验，完全符合要求。 例2　用1、2、3、……、16这16个数作一个四阶幻方。 　　解：幻和等于（1＋2＋3＋…＋16）÷4＝34。先把这16个数按从小到大的顺序填入4×4的方格里（图1）： 　　　　 1 2 3 4　　　　　　　　　　　　　　　　 16 2 3 13 5 6 7 8 5 11 10 8 9 10 11 12 9 7 6 12 13 14 15 16 4 14 15 1 图1　　　　　　　　　 图2　　　　　　　　　　图3 计算发现，两条对角线上四个数的和已经符合要求，但是，由于从小到大排列的缘故，使得行、列上的数出现了上小下大的情况，显然不符合要求，由此想到，把同一条对角线上的数上下对调如图2，对调的结果如图3，经检验，完全符合要求。 幻方的作法不是惟一的，即使是对同一种方法所得到的结果，也可以进行各种变换。上面的三阶幻方就有八种不同的形式。 现在已经知道，四阶幻方有 880 种不同的形式。这里有一个极为特殊的四阶幻方（下图）。请你算一下它的每行、每列、每条对角线上，还有四个角上，以及任意由四个方格或九个方格组成的正方形四个角上四个数的和。这些和竟然都相等, 真是妙不可言！这也许正是它被称为“魔鬼幻方” 的原因吧。 　　　　　　　　　　　　　15 10 3 6 　　　　　　　　　　　　　 4 5 16 9 　　　　　　　　　　　　　14 11 2 7 　　　　　　　　　　　　　 1 8 13 12 例3　用1、2、3、……、25这25个数作一个五阶幻方。 解：编制五阶和五阶以上的奇数阶幻方, 有一个通用的方法。以五阶幻方为例： (1)把第一个数1填在最上行的中央(1 填上行正中央)(a)； (2)接着把2填在1的右上方(依次斜向右上方)(b)； (3)2从上面出框了, 把2填在同一列的最下格(上面出框往下写)(b)； (4)接着把3、4 斜着向右上方填。4从右边出框了, 把4填在同一行的最左格(右面出框左边放)(c)； 　　(5)接着把5、6斜着向右上方填, 6的右上方已经有1了, 把6填在5的下面(前面有数转下格)(d)； (6)接着把7、8、9