高斯求积公式[精选].ppt

第三章 数值积分与数值微分 3.4 Gauss求积公式 3.4.3 Gauss求积公式的余项与稳定性 3.4.2 常用Gauss求积公式 3.4.1 Gauss求积公式的基本理论 3.4 Gauss求积公式 学习目标： 掌握高斯求积公式的用法。会用高斯?勒让德求积公式。 3.4.1 Gauss求积公式的基本理论 在Newton-Cotes求积公式中,节点是等距的,从而限制了求积公式 的代数精度.下面的讨论将取消这个限制条件,使求积公式的代数精度 尽可能高.首先以简单情形论证这样做是可行的,然后给出概念和一般 理论。 3.4 Gauss求积公式 例3.5 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高。 解 按代数精度的概念，分别令 时 上式左边与右边分别相等，有 有第二式和第四式可得 ，结合第一式和第三式得 取 得 于是得到求积公式 它有3次代数精度，而以两个端点为节点的梯形公式只有1次代数精度。 一般地，考虑带权求积公式 （3.4.1） 其中 为2n+2个待定参数，适当选择这些参 数，有可能使求积公式具有2n+1次代数精度。 定义3.3 如果求积公式（3.4.1）具有2n+1次代数精度，则称该公式Gauss型公式。称 　其节点为Gauss点。 如果象例3.5那样，直接利用代数精度的概念去求n=1个Gauss点和 n+1个求积系数，则要联立2n+2个非线性方程组。方程组是可解的，但 当n稍大时，解析的求解就很难，数值求解非线性方程组也不容易。下 面从分析Gauss点的特性着手研究Gauss公式的构造问题 。 定理 3.5 对于插值求值公式(3.4.1),其节点 是Gauss点的充分必要条件是多项式 　　与任意 不超过n次多项式 P(x)带权正交,即 　　（3.4.2） 证. 先证必要性.设P(x)是任意次数不超过n的多项式,则 的次数不超过 2n+1。因此,如果 是Gauss点，则求积公 式（3.4.1）对于 是准确成立的，即有 但 故（3.4.2）成立。 再证充分性。设f(x)是任意个次数不超过2n+1的多项式，用 除f（x），记商为P（x），余式为Q(x)，即 其中P(x)和Q(x)都是次数不超过n的多项式。利用（3.4.2）有 由于（3.4.1）是插值型的，它对于Q(x)能准确立即 注意到 知 ，从而有 由此可见，公式（3.4.1）对于一切次数不超过2n+1 的多项式均能准确成立。因此， 是Gauss点，定理得证。 由于n+1次正交多项式与比它次数低的任意多项式正交，并且n+1次 正交多项式恰好有n+1各互异的实的单根，我们有下面的推论。 推论 n+1次正交多项式的零点是n+1点Gauss公式的Gauss点。 利用正交多项式得出Guass点 后，利用插值原理可得Gauss公式的求积系数为 其中 是关于Gauss点的Lagrange插值基函数。 例 3.6 确定 使下列公式为Gauss公式： 解 我们可以像例3.5一样,直接由代数精度的概念构造Gauss公式。 这里,我们用正交多项式的零点作为Gauss点的办法构造该Gauss公式。 先构造区间[0，1]上权函数 的正交多项式 这里我们 直接用正交性求解。设 则由 得 ，由 得b=-8/9，从而得c=-8/63。由 的零点 按代数精度的