高等数学B上册 求极限方法总结[精选].doc

求极限的几种常用方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限 【说明】表明x与1无限接近，但，所以这一零因子可以约去。 【解】==4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限 【说明】型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ? 【解】 【注】（1）一般分子分母同除x的最高次方； 0 mn ? （2） mn m=n 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限?? 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 例4：求极限 【解】= == 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键 应用两个重要极限求极限 两个重要的极限（1） （2） 在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可 以利用公式。 例5：求极限 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑+，最后凑指数部分。 【解】= 补：求下列函数的极限 （2） 5.利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果，在某区间有界，则。这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。 例6：求 【解】因为 所以=0 6.用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当时,， ~， 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。 此方法在各种求极限的方法中应作为首选。 例7： 【解】 例8：求极限? 【解】= 利用函数的连续性求极限 这种方法适合求复合函数的极限。如果在点处连续，而在点处连续，那么复合函数在点处连续。== 也就说，极限号与可以互换顺序。 例9：求 【解】令 因为在点处连续 所以 = = =1 用洛必达法则求极限 洛必达法则只能对或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在等于A时，那么存在且等于A。如果不存在时，并不能断定也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论。 例10：求极限 【解】 = =? =3 9.用对数恒等式求极限 例11：求极限 【解】== 【注】对于型未定义式，也可以用公式 因为 利用两个准则求极限 夹逼准则：若一正数N。当nN时，有且，则有. 利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列和，使得。 例12： 求的极限。 【解】因为单调递减，所以存在最大项和最小项 又因为 所以 单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。 利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的 通项递推公式求极限。 例，证明下列极限存在，并求其极限。 证明：从这个数列看显然是增加的。用归纳法可证。 又因为 所以得.因为前面证明是单调增加的。 两端除以得 因为则，从而 即是有界的。根据定理有极限且极限唯一。 令则 则，因为0.解方程得 所以 本文对极限的求法作了一下小结归纳了几种求极限的基本方法。对一般的极限用上面的方法可以求出来，复杂一点的可能要综合几种方法才能求出，关键是“运用之妙，存孚一心”。 锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。 出自----荀子----《劝学》