高等数学易错问题总结[精选].doc

关于大学数学遇到的一些疑难问题解析 在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导数？ 答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x=1)，y=2x+3(x1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。 对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y0的情况下是否相同？ 答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求FZ(z)= Fx(z)* FY(z)和FZ(z)=1-(1- Fx(z))* (1- FY(z)),再对z求导的麻烦。 为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。 答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数在x=a处的函数值，换句话说就是f(x)在x=a处的左极限= f(x)在x=a的右极限= f(x)在间断点x=a处的函数值，（因为F(x)连续，所以F(x) 在x=a处的左右导数等于它在x=a处导函数的左右极限），这样f(x)在x=a处连续，与题设条件矛盾，所以原命题正确。 考察分段函数f(x)=2x*sin(1/x)-cos(1/x) x不等于0, f(x)=0当x=0时，当x趋于0时f(x)的左右极限都不存在，所以x=0是f(x)的第二类间断点。但f(x)有原函数F(x)=x平方* sin(1/x) x不等于0，F(x)= 0当x=0时。 对于被积函数或微分符号内有两个变量x与y的定积分该如何积分？ 答：这是要把思路拓宽，想一想一张平面除四个象限，两根轴以外，还有什么。对于最典型的一次函数有斜率与截距两个要素，这时就可以设参数t=y-ax（截距式参数）t=y除x (斜率式参数)，根据题设的已知等式或方程组或y与x的函数关系确定y与x的取值范围，从而就可以算出t=y-ax或t=y除x的取值范围(a为一次函数的斜率)。从而确定了积分的上下限，再把前面两个式子带入到被积函数或微分符号内，就化为一个简单的关于t的定积分。 从本题当中可以看出定积分的表达形式有三种，一是我们书本里经常看到的直角坐标，二是极坐标即r与角度（逆时针方向增大）的关系，第三种就是参数方程。其中极坐标就是参数方程的特例。 关于复合函数连续与可导的问题 答：对于y=g(f(x)),只要u=f(x)在x=a处极限存在，y=g(u)在u=b {b=f(a)}处连续，则极限符号可以提到括号里面去，如果y=g(u)在u=b {b=f(a)}处可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)) )在x=a处可以可导也可以不可导。如果y=g(u)在u=b{b=f(a)}处不可导，u=f(x)在x=a处不可导，则y=g(f(x)) )在x=a处可以可导。比如内函数为u=f(x)=x+（x的绝对值），外函数为y=g(u)=u+（u的绝对值），虽然u=f(x)在x=0处不可导，y=g(u)在u=0处不可导,但是y=g(f(x))在x=0处可导。 可积一定有界，但反过来不一定成立，举个反例 答：狄利克雷函数，因为此函数当x趋于有理数时极限等于1，趋于无理数时极限等于0.在一个闭区域内有无穷多个有理数和无理数，所以该函数有无穷多个第一类间断点，与可积的条件有界连续或有有限个第一类间断点矛盾。 如果一个函数在一个点x0处可导，能不能推出它在x0的某一领域内可导? 答：不能，反例，f(x)=x平方，当x为无理数。 f(x)=0，当x为有理数，先考察在x=0处的可导性。当函数从无理数趋于0时，导数为x平方除x，为x。又x=0