高等数学-概率1.4 条件概率与乘法法则[精选].ppt

由此可以形象地把全概率公式看成是 “由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”，即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关。全概率公式表达了因果之间的关系 。 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 B 诸Ai是原因 B是结果 例 7: 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7。飞 机被一人击中而击落的概率为0.2, 被两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。 设B={飞机被击落}， Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3。 由全概率公式， 得 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) + P(A3)P(B |A3) 则 B=A1B+A2B+A3B， 解: 依题意， P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1。 可求得 为求P(Ai ) , 设 Hi={飞机被第i人击中}, i=1,2,3。 将数据代入计算，得 P(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14。 于是 ， P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2) +P(A3)P(B |A3) =0.458， =0.36×0.2+0.41 ×0.6+0.14 ×1 即飞机被击落的概率为0.458。 * 第一章第四节 条件概率与乘法法则 在解决许多概率问题时，往往需要求在有某些附加信息(条件)下事件发生的概率。 一、条件概率 1. 条件概率的概念 通常记事件B发生的条件下, 事件A发生的概率为P(A|B)。 一般情况下， P(A|B) ≠P(A) 。 P(A )=1/6， 例如：掷一颗均匀骰子，A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B)=？ 掷骰子 已知事件B发生，此时试验所有可能结果构成的集合就是B。 于是，P(A|B)= 1/3。 B中共有3个元素，每个元素出现是等可能的，且其中只有1个(2点)在集合A中。 容易看到： P(A|B) P(A )=3/10， 又如：10件产品中有7件正品，3件次品; 7件正品中有3件一等品, 4件二等品。现从这10件中任取一件，记 B={取到正品}， A={取到一等品}， P(A|B) P(A )=3/10， B={取到正品}， P(A|B)=3/7。 本例中，计算P(A)时，依据前提条件是10件产品中一等品的比例。 A={取到一等品}， 计算P(A|B)时，这个前提条件未变，只是加上“事件B已发生”这个新的条件。 这好象给了我们一个“情报”，使我们得以在某个缩小了的范围内来考虑问题。 若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。 由于我们已经知道B已发生, 故B就变成了新的样本空间 , 于是 就有(1)。 设A、B是两个事件，且P(B)0，则称 (1) 2. 条件概率的定义 为在事件B发生条件下，事件A的条件概率。 3. 条件概率的性质 设B是一事件，且P(B)0,则 1. 对任一事件A，0≤P(A|B)≤1; 2. P(Ω|B)=1； 3. 设A1,…,An ,…互不相容，则 P[(A1+…+An +…)| B] = P(A1|B)+ …+P(An|B)+… 而且，前面对概率所证明的一切性质，也都适用于条件概率。 例如：对任意事件A1和A2 ,有 P(A1∪A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)- (A1A2|B)等。 其他性质请同学们自行写出。 2)从加入条件后改变了的情况去算 4. 条件概率的计算 1) 用定义计算: P(B)0。 掷骰子 例：A={掷出2点}， B={掷出偶数点}， P(A|B）= B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数 例1 ：掷两颗均匀骰子, 已知第一颗掷出6点,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少? 解法1: 解法2: 解: 设