高等数学等价替换公式[精选].doc

无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了数列的极限、（、）函数的极限、（、）函数的极限这七种趋近方式。下面我们用 ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊ 定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小，即。 例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小。 定义： 当在给定的＊下，无限增大，则称是＊下的无穷大，即。显然，时，都是无穷大量， 【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 ， ， 所以当时为无穷小，当 时为无穷大。 2．无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大， 则为无穷小；反之，如果为无穷小，且，则为无穷大。 小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势。 3.无穷小与函数极限的关系: 定理1 其中是自变量在同一变化过程（或）中的无穷小. 证：（必要性）设令则有 （充分性）设其中是当时的无穷小，则 【意义】 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小); （2） 3.无穷小的运算性质 定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 如：，， 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 二、无穷小的比较 例如，观察各极限： 不可比. 极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同. 1．定义: 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且 例1 证： 例2 解 2．常用等价无穷小: （1）～； （2）～； （3）～； （4）～； （5）～； （6）～ （7）～ （8）～ （9）～ 用等价无穷小可给出函数的近似表达式: 例如 3．等价无穷小替换 定理： 证： 例3 （1）； （2） 解: （1） 故原极限= 8 （2）原极限== 例4 错解: =0 正解: 故原极限 【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换，只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。 例5 解: 原式 三、极限的简单计算 1. 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限，例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，就代不进去了，但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解。 2. 分解因式，消去零因子法 例如，。 3. 分子（分母）有理化法 例如， 又如， 4. 化无穷大为无穷小法 例如，，实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量。由此不难得出 又如，，（分子分母同除）。 再如，，（分子分母同除）。 5. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限 例如，，（无穷小量乘以有界量）。 又如， 解：商的法则不能用 由无穷小与无穷大的关系,得 再如，等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5。 6. 利用两个重要极限求极限（例题参见§1.4例3—例5） 7. 分段函数、复合函数求极限 例如， 解: 左右极限存在且相等, 【启发与讨论】 思考题1： 解： 无界， 不是无穷大． 结论：无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大. 思考题2：若，且，问：能否保证有的结论？试举例说明. 解：不能保证. 例