高等数学无穷小与无穷大[精选].ppt

无穷大与无界函数都对应于函数 y = f( x )的函数值 变化可无限增大的情形，但二者在概念上却是不同的。 为弄清这两个概念的区别与联系，将 x → x 0 时的无穷 大量与在点 x 0 的邻域内的无界函数的定义重述如下： 对? M 0，存在 ? 0，使得对满足 x ?U( x 0,? ) 的一切 x 有| f( x )| M . 对? M 0 及 ?? 0，总存在一个 x * ?U( x 0 ,? ) 使得 | f( x * )| M . 无穷大与无界函数的区别和联系 x → x 0 时的无穷大 点 x 0 的邻域的无界函数 x → x 0 时 f( x )为无穷大 U( x 0,? )内g( x )为无穷大 无穷大量必为无界函数，而无界函数未必是无穷大. 数列{ x n }为无穷大 ? { x n }的任何子列{ x n k }都以 ? 为极限。 数列{ x n }无界 ? { x n }存在趋于无穷的子列{ x n k }. 例：证明数列{ x n }={ n(-1)n }无界，但不是无穷大量。 为论证本例的两个命题首先应理解数列无界与 数列趋于无穷的区别。 所谓数列{ x n }无界就是对任意的 Mi 0，一定存在 该数列中的某一项 x i ，使得 x i Mi . 显然，这一点是 不难说明的。因此，关键的问题是说明该数列不是无穷 大，即当n → ? 时，不会有 x n → ? . 要说明不会有 x n → ?，就是要说明随着n 的不断增 大，该数列的某些项 x j 始终不会变得“很大”。 由上分析，要证明本例的两个命题，只需设法找出 其一个趋于无穷的子数列和一个趋于有限值的子数列。 选取适当子列进行证明 取给定数列{ x n }={ n(-1)n }的偶数项构成子数列 { x 2k }={( 2k )(-1)2k }={ 2k }. 易看出，当 k → ? 时，x 2k = 2k → ?，故原数列 { x n }={ n(-1)n }无界。 再取给定数列的奇数项构成子数列 { x 2k- 1 }={( 2k- 1 )(-1)2k- 1 }={ 1/( 2k- 1 )}. 易看出，当 k → ? 时，x 2k - 1 = 1/( 2k- 1 )} → 0 ， 故原数列{ x n }={ n(-1)n }不可能是无穷大。 无穷大是极限不存在的特殊形式 记号 并不表示当 x → [ ]时，f ( x )的极 限存在，而是极限不存在的一种特殊形式。之所以采用 这种记法，其原因是无穷大量虽不能趋于一个确定的数, 但却有确定的变化趋势，此时它具有和函数极限存在的 情形相类似的性质。 从几何上看，若 ，则当 x → x 0 时，函 数 y = f( x )图形向直线 x = x 0 不断靠近，故此时称直线 x = x 0 称为函数 y = f ( x )的图形的一条铅直渐近线。 x → x 0 时无穷大量的几何特征 ? 铅直渐近线 铅直渐近线 x = x 0 无穷小是微积分中非常重要的概念，这是 因为无穷小与函数极限有着密切关系，并在函 数极限的讨论中起着重要作用。从某种意义上 讲，微积分也可称作无穷小分析。 无穷大概念由于其和无穷小概念有着密 切 联系，因而也在微积分讨论中起着重要作用。 (1) 无穷小的概念 无穷小对应于函数极限为零的情形，但这一特殊极 限却可用来表达一般的极限过程，且极限的概念、运算 规则及分析证明常常都可归结为无穷小的讨论。它在微 积的讨论中有着特殊重要作用。 无穷小概念与自变量的一定 变化趋势相对应，以下就两种主 要的情形给出无穷小的定义。 (2) 无穷小的定义 如果 x → x 0 时，函数 ?( x )的极限为 0 ，那么?( x ) 叫做 x → x 0 时的无穷小。 如果 x → ? 时，函数 ?( x )的极限为 0 ，那么?( x ) 叫做 x → ? 时的无穷小。 如果 n → ? 时，数列 x n 的极限为 0，那么 x n 叫做 n → ? 时的无穷小。 (3) 无穷小举例 因为 ，故函数 f( x )= sin x 是 x → 0 时 的无穷小。 因为 ，故函数 f( x )=