高等数学第七章 无穷级数[精选].ppt

函数与极限 第七章 第一节 定义： 例1. 讨论等比级数 例如： 例2. 判别下列级数的敛散性: 例3. 第二节 性质3. 例1. 设级数 性质4. 例2. 判断级数的敛散性: 级数收敛的必要条件 注意: 内容小结 一、正项级数收敛的基本定理 定理2 (比较审敛法) 推论 (比较审敛法) 例1. 讨论 p 级数 2) 若 调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数. 例2. 例3. 几何级数也是常用的比较级数. 定理3. (比较审敛法的极限形式) 例5. 判别级数 例6. 判别级数 定理4 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) (2) 当 例7. 讨论级数 例8. 讨论级数 定理5. 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 说明 : 例9. 证明级数 例10. 判断级数 内容小结 一 、交错级数及其审敛法 用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性: 二、绝对收敛与条件收敛 定理2. 绝对收敛的级数一定收敛 . 例1. 证明下列级数绝对收敛 : 定理 . 比值审敛法 ( D’alembert 判别法) 例2. 证明级数 例3. 讨论级数 例4. 讨论级数 例5. 讨论级数 内容小结 思考与练习 第五节 一、 函数项级数的概念 例如, 等比级数 二、幂级数及其收敛性 定理 1. ( Abel定理 ) 定理2. 若 例1.求幂级数 例2. 求下列幂级数的收敛域 : 例3. 例4. 三、幂级数的运算 定理4 若幂级数 例5. 例6. 例7. 求级数 内容小结 答: 不能. 阿贝尔(1802 – 1829) 第六节 一、泰勒公式 1. 求 n 次近似多项式 2. 余项估计 泰勒中值定理 : 在不需要余项的精确表达式时 , 泰勒公式可写为 特例: 在泰勒公式中若取 几个初等函数的麦克劳林公式 二、泰勒 ( Taylor ) 级数 定理1 . 定理2. 第七节 1. 直接展开法 例1. 将函数 例2. 将 例3. 将函数 2. 间接展开法 例5. 将函数 例6. 将函数 例7. 将 例8. 将 例9. 将 内容小结 (1) 当 n = 0 时, 泰勒公式变为 (2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 给出拉格朗日中值定理 可见 误差 称为麦克劳林（ Maclaurin ）公式 . 则有 则有误差估计式 若在公式成立的区间上 由此得近似公式 其中 其中 类似可得 其中 其中 已知 其中 类似可得 为f (x) 的泰勒级数 . 则称 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ? 待解决的问题 : 若函数 的某邻域内具有任意阶导数, 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足: 证明: 令 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 某些初等函数的幂级数展开式 第七章 函数展开成幂级数 展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 是否为 骤如下 : 0. 展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 故 (? 在0与x 之间) 故得级数 展开成 x 的幂级数. 解: 得级数: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足 类似可推出: 也可以用逐项求导公式! 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 推导 则 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 对应 的二项展开式分别为 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例4. 将函数 展开成 x 的幂级数. 解: 因为 把 x 换成 , 得 将所给函数展开成 幂级数. 同类范例：P304 例7 一、函数项级数的概念 二、幂级数及其收敛性 三、幂级数的运算 幂级数 第七章 设 为定义在