高考数学第二十五讲[精选].ppt

共 83 页 5. (基础题,易)设向量a=(cos25°,sin25°),b=(sin20°,cos20°),若t是实数,且u=a+tb,则|u|的最小值为( )A. B. 1C. D. 答案:C 解析:由题意知,|a|=|b|=1,a·b=sin20°cos25°+cos20°sin25°=sin45°= .∴|u|2=|a+tb|2=a2+2tab+t2b2=t2+ t+1=（t+ ）2+ ≥ , ∴|u|≥ ,|u|的最小值为 . 6. (2010·济南模拟)(能力题,中)在△ABC中, · =3,△ABC的面积S∈ ,则 与 夹角的取值范围是( ) 答案：B 二?填空题 名 师 纠 错 误区:向量的模与数量积的关系不清致误 典例已知向量a,b满足|a|=|b|=1,且|a-kb|= |ka+b|,其中k0.(1)试用k表示a·b,并求出a·b的最大值及此时a与b的夹角θ的值;(2)当a·b取得最大值时,求实数λ,使|a+λb|的值最小,并对这一结果作出几何解释. [剖析]本题可以通过对已知条件两端平方解决,容易出现的问题是对向量模与数量的关系不清导致错误,如认为|a-kb|=|a|-|kb|或|a-kb|2=|a|2-2k|a||b|+k2|b|2等都会得出错误的结果.第二个易错之处就是在得到a·b=- 后,忽视了k0的限制条件,求错最值. [评析]向量的模与数量积.向量的模与数量积之间有关系式|a|2=a2=a·a,这是一个简单而重要但又容易用错的地方,由这个关系还可以得到如|a±b|2=|a|2±2a·b+|b|2,|a+b+c|=|a|2+|b|2+|c|2+2a·b+2b·c+2c·a等公式,是用向量的数量积解决向量模的重要关系式.在解决与向量模有关的问题时要仔细辨别题目的已知条件,用好向量的模与数量积之间的关系. 变式:设非零向量a,b的夹角为60°,是否存在满足条件的向量a,b,使得|a+b|=2|a-b|?无论是否存在都请说明理由. 解:假设存在向量a,b满足|a+b|=2|a-b|,则|a+b|2=4|a-b|2,即|a|2+2a·b+|b|2=4(|a|2-2a·b+|b|2),∴3|a|2-10a·b+3|b|2=0,由于a·b=|a||b|cos60°= |a||b|,故3|a|2-5|a||b|+3|b|2=0,∵|b|≠0,∴3( )2-5 +3=0, 注意到 为实数,对于上述以 为未知数的方程,Δ=(-5)2-4×3×3=-110,上述方程无实数解,故满足|a+b|=2|a-b|的向量a,b不存在. 解 题 策 略 1. 注意类比平行垂直关系的联系与区别,对于两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)有(1)a⊥b?ab=0?x1x2+y1y2=0;(2)a∥b?ab=±|a||b|?x1y2-x2y1=0. 2. 向量的长度?距离和夹角公式已知a=(a1,a2),则|a|= ,即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根.如果A(x1,y1),B(x2,y2),则| |=  .事实上这就是解析几何中两点间的距离公式.已知a=(a1,a2),b=(b1,b2),则两个向量的夹角为cosa,b= .用坐标表示向量,利用向量的数量积可以解决有关垂直的问题,还可以求向量的长度?夹角,从而可以发现向量与解析几何?三角函数有密切的联系. 快 速 解 题 典例求向量c,使它与向量a=( ,-1)和b=(1, )的夹角相等,且|c|= . [解题切入点]设c=(x,y),由题意,cosa,c=cosb,c,解下去便可 .[分析思维过程]本题思路清楚,设出向量c=(x,y),使c与a夹角的余弦等于c与b夹角的余弦即可.又由|c|= ,联立两方程,解之即得. [快解]如图,由题设知,以a\,b为边的三角形为等腰直角三角形,直角边长为2,斜边AB长为2 ,斜边上的中线OC长恰 为