高量3-本征矢量和本征值[精选].ppt

* §3 本征矢量和本征值 §3.1 定义 一、本征矢量和本征值 对于算符A，若有非零矢量 满足下式 式中a为常数。则 称为算符A的本征矢量， 而a为相应的本征值。 上式称为本征值方程。 本征值一般是复数，但也可以为0. 算符A虽然可以不加限制，但是量子力学中用 到的主要是厄米算符的本征值问题。 二、厄米算符本征值问题的两个重要性质 1.在复空间中，厄米算符的本征值都是实数 [证]若A是厄米算符，用 左乘式 两边，有 已经知道 是实数 所以a必为实数。 2. 厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互 正交 [证]设 但 则 又 由此得 即 但 所以 即厄米算符属于不同本征值的本征矢量相互正交。 若 是A的一个本征矢量，则 也是属于同一个 本征值的本征矢量； 若 都是 A 的本征矢量且本征值相同，则 它们的线性叠加 也是A 的属于同一本 征值的本征矢量。 三、本征矢量问题—简并性 厄米算符A属于本征值a的本征矢量有多少个？ 这实际上是一个简并度的问题。 1.问题的提出 所以算符A的属于同一个本征值 a 的本征矢量全 体构成Hilbert空间中的一个子空间。这个子空间称 为算符A的属于本征值a的本征子空间。 2.简并 本征子空间的维数 s 称为所属本征值的简并度。 这个本征值或这组本征矢量称为是 s 重简并的。 当简并度为1时，通常称为无简并。 为了指出 s 维本征子空间，只需给出其中一组 s 个线性无关的本征矢量即可。 则A,B有相同的本征值谱，且每一本征值都 有相同的简并度。 3.相关的定理 定理：若A,B两算符相似，即对于有逆算符R，有 [证]设已知A的全部本征值和相应的本征矢量， 利用 ，用R从左作用上式两边，得 即 下面设A的一个本征值是s重简并的，属于这个本 征值的s个线性无关本征矢量记为 。 由于R有逆， 也必为线性无关。 所以算符B的属于本征值 的本征矢量至少为s个， 即简并度不会比A小。另外利用 用同样的 方法证明B的简并度也不会比A大。证毕。 因为R有逆，所以 不为零 所以所有 也都是B的本征值。 用反证法： 如果 线性相关，则存在 ，从而有 比如由此可以得到 因为R有逆 ，上式两边用 作用后有 这与 线性无关相矛盾。 命题得证。 §3.2 本征矢量的完全性 一. 问题的提出 在一个确定的Hilbert空间中，一个厄米算符A的本征矢量的情况有两种： 1）不简并的本征矢量是彼此正交的； 2）s 重简并的本征值所对应的本征矢量构成一个s 维的本征子空间，并与那些本征值为其它值的本征矢量正交。 如在上述s维子空间中选出s个互相正交的本征矢 作为代表，那么其线性叠加都是算符A的对应于同 一本征值的本征矢量。 在进行归一化后,算符 A 的所有不简并和简并的 本征矢量为代表就构成了一个正交归一矢量集。 若取不简并的本征值的简并度为1,则这个正交归一 矢量集里矢量总数是所有本征值简并度之和 。 这个总数亦可能是无穷大。 问题：一个厄米算符A的本征矢量正交归一集在所 在空间中是否完全？ 二、完全性和封闭性 一个确定的空间中，一组正交归一矢量集的完全 性的含义是： 空间内所有矢量都能表为这个矢量集的线性叠加。 一组正交归一矢量集的封闭性的含义是，这个空间中不存在其它与集内所有矢量都正交的矢量（否则此矢量集应再加一矢量）。 二者的等价性是明显的。对于一般的Hilbert空间，二者是等价的。 对有限维空间予以证明： 定理：在有限维空间中，厄米算符的全部本征矢量 构成正交完全集。 [证]：设空间是n维的，厄米算符为A。我们只需证 明在A的本征矢量中有n个线性无关的即可。 A的本征值方程为 这组基矢共有n个。 为求 ，在此空间中取一组已知的基矢 将矢量 按照这组基矢展开 其中 。知道了一组 就知道了一个 。 将 的展开式代入本征值方程，并用 与方程 两边作内积，得 上式是关于未知数 线性齐次方程组，可以写成