工程数学--线性代数课后题答案_第五版..doc

第六章　线性空间与线性变换 1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基. (1) 2阶矩阵的全体S1; 解 设A? B分别为二阶矩阵, 则A? B?S1? 因为 (A?B)?S1? kA?S1? 所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ? ? ? 是S1的一个基. (2)主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2; 解 设? ? A? B?S2? 因为 ? ? 所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间. ? ? 是S2的一个基. (3) 2阶对称矩阵的全体S3. 解 设A? B?S3? 则AT?A? BT?B? 因为 (A?B)T?AT?BT?A?B? (A?B)?S3? (kA)T?kAT?kA? kA?S3? 所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间. ? ? 是S3的一个基. 2. 验证: 与向量(0? 0? 1)T不平行的全体3维数组向量, 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间. 解 设V?{与向量(0? 0? 1)T不平行的全体三维向量}? 设r1?(1? 1? 0)T? r2?(?1? 0? 1)T? 则r1? r2?V? 但r1?r2?(0? 0? 1)T?V? 即V不是线性空间. 3. 设U是线性空间V的一个子空间, 试证: 若U与V的维数相等, 则U?V? 证明　设?1? ?2? ???? ?n为U的一组基, 它可扩充为整个空间V的一个基, 由于dim(U)?dim(V)? 从而?1? ?2? ???? ?n也为V的一个基, 则: 对于x?V可以表示为x?k1?1?k2?2? ??? ?kr?r? 显然, x?U, 故V?U, 而由已知知U?V? 有U?V? 4. 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间, a1? a2? ???? ar是Vr的一个基. 试证: Vn中存在元素ar?1? ???? an, 使a1? a2? ???? ar, ar?1? ???? an成为Vn的一个基. 证明 设r?n, 则在Vn中必存在一向量ar?1?Vr, 它不能被a1? a2? ???? ar线性表示, 将ar?1添加进来, 则a1? a2? ???? ar?1是线性无关的. 若r?1?n, 则命题得证, 否则存在ar?2?L(a1? a2? ???? ar?1)? 则a1? a2? ???? ar?2线性无关, 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1? a2? ???? an, 它们是Vn的一个基. 5. 在R3中求向量??(3? 7? 1)T在基?1?(1? 3? 5)T? ?2?(6? 3? 2)T? ?3?(3? 1? 0)T下的坐标. 解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则 (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A? (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?3)A?1? 其中? ? 因为 ? 所以向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(33? ?82? 154)T. 6. 在R3取两个基 ?1?(1? 2? 1)T? ?2?(2? 3? 3)T? ?3?(3? 7? 1)T? ?1?(3? 1? 4)T? ?2?(5? 2? 1)T? ?3?(1? 1? ?6)T? 试求坐标变换公式. 解 设?1? ?2? ?3是R3的自然基? 则 (?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)B? (?1? ?2? ?3)?(?1? ?2? ?1)B?1? (?1? ?2? ?1)?(?1? ?2? ?3)A?(?1? ?2? ?1)B?1A? 其中 , ? 设任意向量?在基?1? ?2? ?3下的坐标为(x1? x2? x3)T? 则 ? 故?在基?1? ?2? ?3下的坐标为 . 7. 在R4中取两个基 e1?(1?0?0?0)T? e2?(0?1?0?0)T? e3?(0?0?1?0)T? e4?(0?0?0?1)T? ?1?(2?1??1?1)T? ?2?(0?3?1?0)T? ?3?(5?3?2?1)T? ?3?(6?6?1?3)T? (1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵; 解 由题意知 ? 从而由前一个基到