§4.4 变化率与相关变化率[精选].ppt

§4.4 变化率与相关变化率 变化率与相关变化率 4.4.2 相关变化率 4.4.1 变化率 内容小结与作业 4.4.1 变化率 当运动员从10 m 高台跳水时，运动员跳向空中到进入水面的过程中，不同时刻的速度是不同的．假设在 t s 时运动员相对水面高度为 (1)在2 s 时运动员的下降速度为多少？ (2)运动员跃起后何时上升的速度为0？ (3)运动员入水刹那的速度为多少？ 问： 例1 （1）在 时刻的下降速度为 所以 即在2秒时运动员下降的速度为 表示运动员在下降． ，负号 解 \\4.4.1 变化率 解 （2）令 ，即 解得 ．所以，在 时运动员上升的速度为0， 此时运动员跃上最高点， 随后开始下降． \\4.4.1 变化率 （3）当运动员跃入水面时， ， 解得 ，即从起跳到入水 于是 所以，运动员入水时的速度 解 即 的时间为 为15.4494 m/s． \\4.4.1 变化率 设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度 为l (m)质量为m (kg) ，则该细杆的线密度（即单位长度 上的质量）为 非均匀的细杆，其质量分布函数为 求其在任一点处的线密度． ．今有一长度为l , 质量分布 如图建立坐标，取小段 ，则该 例2 ， 解 小段的平均密度为 \\4.4.1 变化率 因此，在 处的线密度为 小段的平均密度为 \\4.4.1 变化率 通过导体横界面的平均电流为 例3 我们知道，导体中电荷的定向流动产生电流， 电流 的大小就是单位时间内通过导体横截面的电量，如图. 如果流经导体横截面的电荷 随时发生变化， 设在t (s) 时通 过导体横截面的电量为Q(t) (C) ， 则在 t 到 t +△t 时间内 因此在时的电流为 \\4.4.1 变化率 例4 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 有W1(t)=W2(t) . 从图中可以看出 所以说在单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大． 设达标的时间 为t0，两企业 同时达标，即 因此在治理污染方面，企业甲比企业乙效果更明显． \\4.4.1 变化率 例4 该值越大，说明减少得越快，污染治理越有成效． 如图, W1(t)，W2(t) 分别是甲乙两家企业的排污量. 要局部考虑排污量的减少程度，我们同样可以考虑下面的极限 \\4.4.1 变化率 边际通常指经济变量的变化率．因此，边际成本、边际收入和边际利润分别为成本函数、收益函数和利润函数的导数，即 为边际成本， 为边际收入， 为边际利润． 由于需求或供给量多为离散的量，因此所谓的边际成本通常定义为 对边际收入和边际利润也是如此．这里， 解释为“当产量为时，增加一个单位产量所需增加的成本”．由于通常远大于1，所以由近似公式，有 因此，将 和 同称为边际成本． 导数在经济学中的应用 \\4.4.1 变化率 例5 下表给出了当 时, 与 某企业生产件产品的成本为 （元）， 则边际成本函数为 （元/件）． 特别，当生产规模为500件时，边际成本为 （元/件）． 的比较． \\4.4.1 变化率 下表给出了当 时, 与 的比较． \\4.4.1 变化率 设直圆锥的底半径 r 、高 h 都是时间 t 的可微 函数，则其体积 V 也是时间 t 的可微函数，试求 出变化率 和 的关系． 其中 都是 的可微函数．于是， 由圆锥的体积计算公式有 、 由函数的求导 例6 解 法则有 4.4.2 相关变化率 ，此时容器中水 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ 设 t 分钟时，容器中水面高度为 h 的体积为 4t 立方米，且水面圆半径为 所以，可以建立下面的方程 即 ． 解 ，如图所示． 例7 将方程两边关于时间 t 求导数，得 即 \\4.4.2 相关变化率 有一深度为8米、上底直径为8 米的正圆锥容器， 现向该容器以每分钟4 立方米的速度注水．问：当容 器中水深为5米时，水面上升的速度为多少？ ． 解 例7 将方程两边关于时间 t 求导数，得 即 当 米时，水面上升的速度为 （米/分钟） \\4.4.2 相关变化率 现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南