§9.3三重积分及其计算[精选].ppt

2. 设?由锥面 例4: 求曲面x2+y2+z2?2a2与 立体体积. 所围成的 解: ? 由锥面和球面围成. 采用球面坐标. 由x2+y2+z2=2a2 ? r = 由三重积分的性质知: 所求立体的体积V为: 注: 若积分区域为球体, 球壳或其一部分被积函数呈x2+y2+z2的形式,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单, 通常采用球坐标 补充: 利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意: 1.积分区域关于坐标面的对称性; 2.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇偶性. 一般地, 当积分区域? 关于xoy平面对称, 且被积函数f(x, y, z)是关于 z 的奇函数, 即f(x, y, –z)= –f(x, y, z),则三重积分为零; 若被积函数f(x, y, z)是关于 z 的偶函数,即f(x, y, –z)=f(x, y, z), 则三重积分为? 在xoy平面上方的半个闭区域上的三重积分的两倍. “你对称, 我奇偶”. 六、小结: 三重积分换元法: 柱面坐标, 球面坐标. (1) 柱面坐标的体积元素: dv = rdrd?dz; (2) 球面坐标的体积元素: dv = r2sin?drd?d? ; (3) 对称性简化运算. 思考题: 若? 为R3中关于xoz面对称的有界闭区域, f(x, y, z)为? 上的连续函数, 则 当f(x, y, z)关于 为奇函数时, 当f(x, y, z)关于 为偶函数时, 其中?1为? 在xoz面右侧的部分. y y 思考与练习 1. 设 计算 提示: 利用对称性 * 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义. §9.3 三重积分及其计算 一、三重积分的概念 三重积分的物理背景 以?(x, y, z)为体密度函数的空间物体?的质量. 首先, 将闭区域? 任意分成 n个小闭区域?v1, ?v2, ???, ?vn, 其中?vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?vi上任取一点(?i, ?i, ?i ), 作乘积?(?i, ?i, ?i )?vi ( i=1, 2, ???, n), 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为空间物体?的质量M, 即 当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何意义. 下面我们给出三重积分的定义: 定义: 设f(x, y, z)是空间有界闭区域? 上的有界函数, 将闭区域? 任意分成n个小闭区域?v1, ?v2, ???, ?vn, 其中?vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个?vi上任取一点(?i, ?i, ?i ), 作乘积 f(?i, ?i, ?i )?vi ( i=1, 2, ???, n), 并作和 如果当各小闭区域的直径中的最大值?趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域 ? 上的三重积分, 并记为 即 其中dv 称为体积元素, 其它术语与二重积分相同. 同样有: 闭区域上的连续函数一定可积. 在直角坐标系中, 如果我们用三族(平行于坐标的)平面 x=常数, y=常数, z=常数, 对空间区域进行分割那末每个规则小区域都是长方体. 其体积元素为: dv = dxdydz. 三重积分可写成: 由定义可知三重积分与二重积分有着完全相同的性质, 不再叙述. 二、三重积分在直角坐标系中的计算法 与二重积分类似, 三重积分可化成三次积行计算.具体可分为先单后重和先重后单两种类型. (x, y) z=z1(x, y) z=z2(x, y) ①先单后重: 设闭区域? 在xoy面的投影为闭区域Dxy . 在闭区域Dxy内任取一点(x, y), 作垂直于xoy面的直线穿过闭区域? . 穿入? 时的下边界曲面方程: z=z1(x, y) 穿出? 时的上边界曲面方程: z=z2(x, y) 先将x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函数, 则积分 为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy 上的密度函数. ——也称为先一后二，（ 先z次y后x ） 注意 用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。 化三次积分的步骤 ⑴投影，得平面区域