弹塑性力学基本理论及应用_刘土光___华中科技大学研究生院教材基金资助__第五章_弹塑性力学问题的建立与求..doc

第五章 弹塑性力学问题的建立与求解 弹塑性力学问题在数学上属边值问题，就是在给定边界条件下，确定物体内的应力场和应变场，而应变场与位移场密切相关。所求得应力场、应变场和位移场应该满足相应的基本方程和边界条件。 本章内容，除介绍弹性及弹塑性力学边值问题的建立之外，还将简单阐述弹塑性问题的解法。 5.1弹塑性力学边值问题 1.1弹塑力学的基本方程 弹塑性力学边值问题就是在给定载荷下确定物体内的应力场、应变场和位移场，它们应满足基本方程及给定的边界条件。而所谓“载荷”包括：体积力、面积力(即应力边界条件)及给定的边界位移(即位移边界条件)。由于在部分边界上给定的位移也是对物体的一种外部干扰，可归于广义的载荷。在笛卡儿坐标系下，弹塑性力学的基本方程为： 1).平衡方程 (5.1-1a) 或用张量写为 (5.1-1b) 对于弹塑性力学问题，在小变形条件下，其平衡方程还可用率型式表示为 (5.1-1c) 2).几何方程 对于小变形，几何方程包括Cauchy应变张量 (5.1-2a) 或 (5.1-2b) 和由应变位移关系导出的应变协调方程 (5.1-3a) 当物体内某应力点进入塑性状态，其几何方程通常采用应变率表示为 (5.1-3b) 3).本构方程 物体受力后，其应力状态可能一部分处于弹性阶段，一部分可能处于塑性阶段。由笫四章知，这两个阶段的本构方程是不同的，下面分别列出不同区域(阶段)的本构方程。 (1)弹性区域 弹性区域，应力应满足屈服不等式，在该关系下本构关系为广义虎克定律，即 (5.1-4a) 或简写为 (5.1-4b) 也用应变表示应力，则有 (5.1-4b) 上式可缩写为 (5.1-4c) (2)塑性区域 对于变形物体内的塑性区域，如果处于初始屈服阶段，应力应满足屈服不等式，在该条件下，并注意当进入塑性状态时，体积为不可压缩，因此增量理论的(4.6-12a)式可写为 (5.1-5a) 或简写为 (5.1-5b) 其中 当为强化材料时，则可表示为 (5.1-5c) 式中 如果采用全量论，则应变偏量为 (5.1-5d) 1.2弹塑力学问题的边界条件 从上面可见，当物体处于弹性状态时，共有3个平衡方程(5.1-1)，6个几何方程(5.1-2)，6个本构方程(5.1-4)。共15个方程(统称为泛定方程)。其中包括6个应力分量，6个应变分量，2个位移分量，共15个未知函数，因而在给定边界条件时，问题是可以求解的。 当物体处于弹塑性状态时，同样有3个平衡方程(5.1-1)，6个几何方程(5.1-2)以及6个本构方程(5.1-5)。但在此情况下多引进了一个参数，不过也增加了一个屈服条件．只有在应力满足屈服条件时，才不等于零。 在研究弹塑性小变形平衡问题范围内时，以上弹塑性力学问题的解还必须满足的边界条件。边界条件一般可分为三类，即 (1)应力边界条件 (5.1-6a) 或写为 (5.1-6b) (2)位移边界条件 (5.1-7a) 或写为 (5.1-7b) (3)混合边界条件 当物体中的一部分边界力已给定，而另一部分边界给定了位移，则称这类边界条件为混合边界条件。这类边界条件的表达式分别同式(5.1-6)和(5.1-7)。 应当注意的是，加载过程的弹塑性力学问题可作为非线性弹性力学问题处理。这时应注意的是卸载，卸载时应遵守卸载定律。如果变形物体内可能同时存在几种不同的变形区，如初始弹性区、加载区()及卸载区()