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弹性力学轴对称问题的有限元法.
4. 弹性力学轴对称问题的有限元法
本章包括以下内容:
4.1用虚功方程建立有限元方程
4.2三结点单元位移函数
4.3三结点单元刚度矩阵
4.4载荷移置
4.5轴对称分析举例
4.1用虚功方程建立有限元方程
物体的几何形状、约束情况及所受的外力都对称于空间的某一根轴,因此在物体中通过该轴的任何平面都是对称面,所有应力、应变和位移也对称于该轴,这类问题称为轴对称问题。研究轴对称问题时通常采用圆柱坐标系(r,θ,z),以z轴为对称轴。
图4.1受均布内压作用的长圆筒
如图4.1所示的受均布内压作用的长圆筒,通过Z轴的一个纵截面就是对称面。由于对称性,轴对问题共有4个应力分量:
(4-1)
其中表示沿半径方向的正应力,称为径向应力;表示沿θ方向的正应力,称为环向应力或切向应力;表示沿z方向的正应力,称为轴向应力;表示在圆柱面上沿z方向作用的剪应力。
同样,轴对称问题共有4个应变分量:
(4-2)
其中表示沿半径方向的正应变,称为径向正应变;表示沿θ方向的正应变,称为环向正应变或切向正应变;表示沿z方向的正应变,称为轴向正应变;表示沿r和z方向的剪应变。
在轴对称问题中,弹性体内任意一点上,不存在切向位移,只存在径向位移u和轴向位移w,两个位移分量表示为,
(4-3)
在讨论弹性力学平面问题的有限元法时,我们先由将弹性体划分为有限个单元的组合体,由虚功方程得到单元刚度矩阵,集成后得到整体刚度矩阵。在这里,我们用虚功方程直接得到轴对称问题的有限元列式。
由虚功方程可得,外力虚功等于内力虚功或虚应变能,
(4-4)
其中{F}为体力,{p}为面力。
将弹性体离散后,作用在弹性体上的外载荷移置到节点上,在每个节点上外力只有径向分量,轴向分量,
(4-5)
每个节点的虚位移也只有径向分量,轴向位移分量。
(4-6)
在单元中由虚位移引起的虚应变为,
(4-7)
单元中的实际应力为,
(4-8)
离散后的单元组合体的虚功方程为,
(4-9)
(4-10)
就是单元刚度矩阵。
对于轴对称问题,
(4-11)
将(4-11)代入(4-10)可得
(4-12)
为整体刚度矩阵,得到方程组,
(4-13)
4.2三结点单元位移函数
轴对称问题分析中所使用的三结点单元,在对称面上是三角形,在整个弹性体中是三棱圆环,各单元中圆环形铰相联接。参照平面问题的三角形单元位移函数,轴对称问题的三结点三角形单元位移函数取为,
(4-14)
图4-2 三结点单元
按照平面问题三角形单元的分析过程,将结点坐标和结点位移代入(4-14)得到,
(4-15)
(4-16)
其中,
(4-17)
,,
定义形态函数为,
(下标i,j,m轮换) (4-18)
用矩阵表示的单元位移为,
(4-19)
4.3三结点单元刚度矩阵
轴对称问题的几何方程:
(4-20)
由(4-19)式得,
(4-21a)
(4-21b)
其中,(下标轮换)
(4-21c)
(4-21d)
(4-21e)
用几何矩阵表示单元的应变,
(4-22)
(4-23)
(下标轮换) (4-24)
由于在是坐标r、z的函数,分量在单元中不为常量,其它三个应变分量在单元中仍为常量。
由轴对称问题的物理方程,得到弹性矩阵,
(4-25)
令,,则弹性矩阵为,
(4-26)
由弹性矩阵[D]和几何矩阵[B]可以得到应力矩阵[S],并计算出单元内的应力分量,
(4-27)
(4-28)
(4-27)
下标轮换,可得到。
由应力矩阵可知,除剪应力为常量,其它三个正应力分量都是r、z的函数。
单元刚度矩阵为,
(4-28)
单元刚度矩阵的分块矩阵为,
(4-29)
由于几何矩阵中的元素不是常量,单元刚度矩阵需要通过积分得到,为简化计算,可以用三角形单元形心位置的坐标代替[B]矩阵中的变量r、z。
,
应变矩阵变成,
(4-30)
单元刚度矩阵的近似表达式为:
(4-31)
单元刚度矩阵的分块矩阵近似表达式为,
(4-32)
(4-33)
4.4载荷移置
单元上的体力为{p},与平面问题相同,由虚功方程可以得到结点载荷,
(4-34)
作用在单元上的面力为,结点载荷为,
(4-35)
轴对称问题分析中,如果直接定义结点载荷,载荷值是实际弹性体上绕对称轴一周的载荷的累
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