彩票中的数学al2-4..doc

彩票中的数学 单位：国防科技大学 作者：张红良 聂一鸣 闫宇壮 指导老师：吴孟达 摘要：本论文建立了彩票规则的数学模型。首先建立概率模型，求出了29种方案中各奖项出现的概率，并利用规定算法，计算出了各奖项的奖金额。接着论文利用相关因素加权法，构造出对彩民吸引力的评价函数M(i)，利用实际统计数据确定M(i)的各参数，并由此判别出29种方案中较优的方案：6，23，2，4，3，25等。论文最后对较优方案6和23中各奖金分配比例逐项进行调整改进，得到相对更优的6+1/29和7/35型，论文还给出小盘玩法5/21型，并验证了所给7/35及5/21型是接近最优的。 本论文最大的优点是引进了评价函数M(i)，从而确定了方案优劣的标准。论文还对小盘玩法，保底金额带来的风险，复式投注作了有益探讨。并用模糊数学的相似优先比算法评价了各方案的优劣性，并验证了函数M(i)的合理性。 问题重述 I、“传统型”彩票采用“10选6+1”方案，每注中奖号码由6个基本号码即一 个特别号码组成。中奖等级见题目表1（见附录）。 II、 “乐透型”采用“m选7”或“m选6+1”方案。 甲、“m选7”制：中奖号码由1—m中的互不重复的7个基本号及一个特 别号码组成。每注选7个不同号。 乙、“m选6+1”制：中奖号码由1—m中互不重复的6个基本号及一个特 别号组成。每注选7个不同号。 中奖等级情况见题目表2（见附录）。 条件： 1、总奖金比例B=。 2、单注金额：permount=2元。 3、60万元≤一等奖奖金cash(i,1)≤500万元。 4、各奖项金额计算方法： a、低项奖cash(i,j)(j=4,5,6,7)=固定值（见附录题目表3）。 b、高项奖cash(i,j)(j=1,2,3)计算方法： cash(i,j)=[(当期销售总额amount*总奖金比例B)—低项奖总 额]*单项奖比例b(i,j)。 模型假设 1、“传统型”考虑号码顺序；“乐透型”不考虑号码顺序。 2、表1中“X”号可能与中奖号对应位相同。如：四等奖表中最多有三个与 中奖号相同的连在一起。即abcXef属于abcXXX,XbcdXXX包括XbcdXf。 3、“传统型”中特别号码只对一、二等奖发挥作用，即基本号6个中有一个 不 符，就不再考虑特别号码。 4、中奖等级高的奖金额大。 5、方案的好坏只与对彩民的吸引力大小有关。 6、数字组合在各注中等可能出现。 简单符号介绍 amount—— 当期销售总额； B —— 总奖金比例，本题中B≈50%； prob(i,j) —— 第i个方案，第j等奖出现的概率； cash(i,j) —— 第i个方案，第j等奖的奖金额； b(i,j) —— 第i个方案，第j等奖（j=1,2,3）占高项奖的比例； people(j)—— 获第j等奖的人数； (i,j) —— 第i个方案,j等奖金额的相对满足度。 模型分析与求解 一）概率模型 彩票中奖号码一般由机器或由电脑随机产生，各种组合出现的概率是等可能的。故各期中奖号码出现的可能性符合古典概型。 1、对传统6+1/10方案： 如对五等奖：要求连续符号相符者最多为3个，分情况讨论： 五个相同有一个不同的有：abcXef，abXdef两种，概率为10-5*9/10*2; 四个相同二个不同的有：abcXeX，abcXXf，XbcdXf，aXcdeX，aXXdef， XbXdef六种，概率为10-4*(9/10)2*6; 三个相同三个不同的有：abcXXX，XbcdXX，XXcdeX，XXXdef 4种， 概率为10-3*(9/10)3*4; 故prob(I,5)= 10-5*9/10*2+10-4*(9/10)2*6+10-3*(9/10)4*4; 同理可得其它概率： prob(i,1)= 10-6/5; prob(i,2)= 10-6*4/5; prob(i,3)= 10-5*9/10*2; prob(i,4)= 10-5*9/10*2+10-4*(9/10)2*3; prob(i,6)= 10-4*(9/10)2*6+10-3*(9/10)3*12+10-2*(9/10)4*5; 对乐透7/m和乐透6+1/m型： 求各组合出现的概率： 概率 7/m 6+1/m 表 4 由以上分析