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点击解决最值问题的常用方法 建湖县颜单中学 陈国华 [内容提要] 在生活实际中常要考虑在一定条件下怎样使成本最低，消耗最少，使收益最大，方案最优，行走路径最短，周长面积最小等问题。这类生活问题一般可转化为求函数或线段的最小值或最大值的数学问题，此类问题涉及知识面广，综合性强，解法有一定技巧性。通过这类问题的解决可以培养学生的数学思想方法，提高学生的数学思维能力。本文举例介绍解决初中数学中有关最值问题一些常用方法。 【关 键 词】 生活问题 数学问题 最值 数学思想方法 数学思维能力 一、配方法 配方法是数学中的一种重要解题思想方法，将已知代数式（等式）配成若干个完全平方式的形式，结合非负数性质，从而使问题得到解决。 例1设x、y为实数，代数式5x2+4y2－8xy+2x+4的最小值为_______。 解析：配方得 原式=2（x2－2xy+y2）+x2+2x+4 =4（x－y）2+（x+1）2+3 显见，当x=－1，y=－1时，原式有最小值3。 二、分类讨论法 当解决的问题存在一些不确定因素，这时常用分类讨论法按一定的标准或原则分为若干类、然后逐类求解，再综合这几点的结论从而求解。 例2 已知0≤a≤4，那么的最大值等于（ ） （A）1 （B）5 （C）8 （D）3 解析：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。 根据绝对值的几何意义，a=2 , a=3是两个零点，结合0≤a≤4分成0≤a≤2，2＜a≤3，3＜a≤4三段讨论： ①当0≤a≤2时，原式=5－2a，当a=0时达到最大值5； ②当2＜a≤3时，原式=1 ； ③当3＜a≤4时，原式=2a－5，当a =4时达到最大值3. 综合①②③在0≤a≤4范围，原式的最大值为5，所以选B。 三、数形结合法 有些代数问题条件中的数量关系有明显的几何意义，或以某种方式与几何图形相关联，则可以通过作出与其相关的几何图形，将代数问题的条件及数量关系直接在图形中表现出来，从而利用几何关系来求解。 例3 使取最小值的实数x的值为_________。 解析：通过观察不难发现，题设条件中有明显的几何意义。即可将、分别视为x、2和 （8－x）、4为直角边的直角三角形的斜 边，进而构造如图所示的几何图形。 AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2， BD=4，AB=8。 则PC=，PD=。于是，问题可转化为：在线段AB上找一点P，使得PC+PD最短，由“两点之间线段最短”的性质知，当点P、C、D共线时，PC+PD最短，即原式取最小值。 此时，易知△APC~△BPD ∴， 从而PA=AB=。 故原式取最小值时，x=。 四、函数模型法 函数模型的应用是数学应用问题的主要类型，从数学角度理解问题，分析问题中的变量和常量，将实际问题抽象成数学问题建立函数模型，再根据函数的性质，结合自变量的取值范围从而求出最值。 例4 某工厂计划为震区生产A，B两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3。 （1）有多少种生产方案？ （2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y（元）与生产A型桌椅x（套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用。（总费用=生产成本+运费） 解析：（1）设生产A型桌椅x套，则生产B型桌椅（500－x）套，由题意得 解得240≤x≤250， 因为x是整数，所以有11种生产方案； （2）y=（100+2）x+（120+4）×（500－x） =－22x+62000. ∵k=－22x＜0. ∴y随x的增大而减少， ∴当x =260时，y有最小值。 即当生产A型桌椅250套，B型桌椅250套时，总费用最少。最少的总费用56500元。 例5 已知：抛物线y=ax2－2ax+c(a≠0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式； （2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。 解析：（1）由题意，得 解得 ∴所求抛物线的解析式为： ； （2）设点Q的坐班为（m ，0），过点E作EG⊥x轴于点G。 由，得 ∴B的坐标为（－2，0）， ∴AB=6，BQ=m+2. ∵QE∥AC，∴△BQE~△BAC， ∴，即 ∴EG=， ∴S△CQE=S△CBQ－S△EBQ =×CO－×EG =（m+2）() = ∵ a=－＜0，∴S△CQE有最大值。 即当m=1时，S△CQE有