(概率论与数理统计复习思考及例题2014.12.docVIP

一、基本概念 统计规律性：在相同的条件下进行大量观察或试验中，出现的结果有一定的规律性。 确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。 随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象。 试验：对某事物特征进行观察。 随机试验：具有如下特点试验：①可在相同的条件下重复进行；②试验结果不止一个,但能明确所有的结果；③试验前不能预知出现哪种结果。 样本空间： 随机试验E 所有可能的结果组成的集合。 样本点：样本空间的元素, 即E 的每个结果, 称为样本点。 随机事件：样本空间S的子集。 基本事件：仅由一个样本点组成的子集。 必然事件：每次试验必定发生的事件。 不可能事件：每次试验都不发生的事件 。 和事件 ：事件 A与事件B 至少有一个发生。 积事件 ：事件 A与事件B 同时发生 差事件 ：事件 A 发生，但事件 B 不发生。 事件的互斥：若，A 与B 互斥。即A、 B不可能同时发生。 逆事件：若则称A、B为对立事件。即每次试验 A、 B中有且只有一个发生。 频率：设在 n 次试验中，事件 A 发生了nA次， 则称 为事件 A 发生的 频率。 概率的公理化定义 ：设 S 是随机试验E 的样本空间，若能找到一个法则，使得对于E 的每一事件 A 赋于一个实数，记为P ( A ), 称之为事件 A 的概率，这种赋值满足下面的三条公理： ①非负性： ②归一性： ③可列可加性： ，其中 为两两互斥事件。 概率的古典定义：设 随机试验E 具有下列特点：①基本事件的个数有限；②每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典(等可能)概型，计算公式为 。 小概率事件 ：若P(A) ≤0.05 , 则称A为小概率事件。 小概率原理：即实际推断原理，一次试验中小概率事件一般是不会发生的. 若在一次试验中居然发生了, 则可怀疑该事件并非小概率事件 。 条件概率：将已知事件B 发生的条件下，事件A发生的可能性的客观度量称为条件概率，记为P(A|B)。 或：设A，B是随机试验E的两个随机事件，且P(B) 0，称为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率。 乘法公式：利用条件概率求积事件的概率即乘法公式 或 推广 事件的独立性：设 A , B 为两事件，若则称事件 A 与事件 B 相互独立。 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立是指 随机变量：设 S 是试验E的样本空间, 若，按照一定法则，则称 X ( e) 为 S上的 随机变量。 随机变量的分布函数 ：设 X 为 随机变量, x 是任意实数,称函数 为 X 的分布函数. 。 分布律： 称为离散随机变量X 的分布。 概率密度函数：设 X 是随机变量, 若存在一个非负可积函数 f ( x ), 使得 其中F ( x )是它的分布函数，f ( x )是它的概率密度函数。 连续随机变量取任一常数的概率为零；概率为0 (1) 的事件未必不发生(发生)。不可能事件的概率为零，但概率为零的事件不一定是不可能事件。同理，必然事件的概率为1，但概率为1的事件不一定是必然事件。 连续性随机变量函数的分布定理 ：设连续型随机变量 X 具有概率密度 fX(x), 又 y = g(x) 处处可导,且有g￠ (x)0 (或恒有g￠ (x)0),则 Y = g(X) 是一个连续型随机变量,其概率密度为 其中 h( y)是g(x) 的反函数 二维随机变量：设随机试验E 的样本空间为W，w ?W ，w ) ,Y (w )与之对应，称它们构成的有序数组 ( X , Y ) 为二维随机变量。 联合分布函数：对任意实数对 (x , y ) ，≤ x , Y ≤ y }为( X , Y ) 的联合分布函数. 边缘分布函数：一维随机变量X、 离散随机变量的数学期望：设X为离散随机变量其分布为若无穷级数绝对收敛, 则称其和为 X 的数学期望，记作 E( X )。。 连续随机变量的数学期望：设连续随机变量 X 的概率密度为若广义积分 绝对收敛, 则称此积分为 X 的数学期望，记作 E( X ), 即。 一维随机变量函数 Y = g(X ) 的数学期望： 离散 ； 连续 。 二维随机变量函数Z = g(X ,Y ) 的数学期望： 离散：设离散随机变量 (X ,Y ) 的概率分布为 ，则 连续：设连续随机变量 (X ,Y )的联合概率密度为f (x ,y) ，Z = g(X ,Y ), 概率积分 方差：若E [X - E(X)]2 存在, 则称其为随机变量 X 的方差, 记为D (X ) 。即D (X ) = E [X - E(X)]2 。