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第五章 大数定理和中心极限定理 1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 解：设第i只寿命为Xi，（1≤i≤16）， (Xi )=100，D (Xi )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知 从而 3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布， （1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解： （1）设取整误差为Xi（，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。 于是： 8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？ 解：设X为100人中治愈的人数，则X～B (n, p)其中n=100 （1） （2）p=0.7由中心极限定理知 7．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。 （2）一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。 解：（1）设每个部件为Xi (i=1,2,……100) 设X是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量Xi之和 X=X1+ X2+……+ X100 由题设知 n=100 P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=0.1 E (Xi ) =p=0.9 D (Xi ) =p (1－p)=0.9×0.1=0.09 n·E (Xi ) =100×0.9=90, n D (Xi ) =100×0.09=9 = = 由中心极限定理知 查标准正态分布表 =φ(1.67) =0.9525 解：（2）设每个部件为Xi (i=1,2,……n) P {Xi=1}=p=0.9, P {Xi=0}=1－p=0.1 E (Xi ) =p=0.9, D (Xi ) =0.9×0.1=0.09 由问题知 求n=? 而 = =1－由中心极限定理知 = 查标准正态分布表得 解得n≥24.35 取n=25，即n至少为25才能使系统可靠性为0.95. [八] 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均： （1）求P {4.9} （2）} 解：由中心极限定理知 ～N (0,1) ～N (0,1) （1） （2）由Xi , Yj的相互独立性知独立。从而U，V独立。 于是U－V～N (0, 2) 而 =2×0.8749－1=0.7498 [九] 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿命X1，…，Xn，以作为μ的估计，为使问n至少为多少？ 解：由中心极限定理知，当n很大时 = 所以 查标准正态分布表知 即n至少取1537。 54