(特级数学名师珍藏题第10讲导函数的概念与法则和定积分初步课后练习.docVIP

第10讲 导函数的概念与法则和定积分初步 主讲：f(x)与g(x)是定义在R上的两个可导函数，若f(x)，g(x)满足f′(x)＝g ′(x)，则f(x)与g(x)满足(　　) A．f(x)＝g(x) B．f(x)＝g(x)＝0 C．f(x)－g(x)为常数函数 D．f(x)＋g(x)为常数函数 若函数在x=x0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值为 . 曲线在点处的切线方程为___________________. 已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f (x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l. (1)求使直线l和y＝f (x)相切且以P为切点的直线方程； (2)求使直线l和y＝f (x)相切且切点异于P的直线方程．已知函数满足，且的导函数，则的解集为（　　） A． B． C． D．定义在R上的可导函数f (x)且f (x)图像连续当x ≠ 0时, ,则函数的零点的个数为（　　） A．1 B．2 C．0 D．0或2 分别在曲线y = e x与直线y = ex?1上各取一点M与N，则M N的最小值为________． 已知函数,,设．若以函数图像上任意一点为切点的切线的斜率恒成立，求实数的最小值.当时，求证当时，求证：已知f1(x)＝sin x＋cos x，记f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)(n∈N*，n ≥2)，则f1＋f2＋…＋f2012＝________. 已知函数，对任意的x1，x2∈（0，2）且x1＜x2，己知存在x0∈（x1，x2）使得，求证： 设f (x)＝则f (x)dx(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D．不存在 的值是(　　) A．0 B. C．2 D．4 C 详解：由f ′(x)＝g ′(x)，得f ′(x)－g ′(x)＝0， 即[f (x)－g (x)]′＝0，所以f (x)－g (x)＝C(C为常数)．. 详解：先对函数进行求导，然后根据在x=x0处的导数值与函数值互为相反数可得答案． ∵，∴，∴，∴，故答案为.. 详解：y ′ =3x2?1，令x =1得切线斜率2，所以切线方程为y ?3=2（x?1）即2x?y+1=0，故答案为：2x?y+1=0.（1）y＝－2；（2）9x＋4y－1＝0. 详解：(1)由f (x)＝x3－3x得f ′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y＝－2. (2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f (x)切于另一点(x0，y0)，则f ′(x0)＝3x－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为＝， 又＝， 即＝， 解得x0＝1(舍去)或x0＝－， 故所求直线的斜率为k＝3＝－， ∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.D 详解：设, 则， ，对任意，有，即函数在R上单调递减，则的解集为，即的解集为选D.C 详解：由，得，当时，，即，函数此时单调递增。当时，，即，函数此时单调递减。又，函数的零点个数等价为函数的零点个数。当时，，当时，，所以函数无零点，所以函数的零点个数为0个。选C.. 详解：∵切线与直线y=ex?1平行，斜率为e，设切点M（a，b），又切线在点a的斜率为y′|x=a=ea，∴ea=e，∴a=1，∴切点的坐标M（1，e），∴切线方程为y?e =e（x?1），即ex?y =0；又直线y =ex?1，即e x?y?1=0 则M N的最小值为. 详解：， 恒成立 当时，取得最大值. ∴，∴amin=.略详解：设函数 当时， ，故在递增， 当时，又，， 即，故.略详解：设，则， 所以在内递减，在内递增. 故，又因 故，得0. 详解：f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x， f3(x)＝(cos x－sin x)′＝－sin x－cos x， f4(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝sin x＋cos x， 以此类推，可得出fn(x)＝fn＋4(x) 又∵f1(x)＋f2(x)＋f3(x)＋f4(x)＝0， ∴f1＋f2＋…＋f2012＝f1＋f2＋f3＋f4＝0. 证明略。 详解：∵对任意的x1，x2∈（0，2），若存在x0∈（x1，x2）使得，， ∴. 令，则有F(x0)=0 ∴， 当x∈(0，2)时，2lnx?32ln2?30，又有x2x10， ∴F ‘ (x)0，即F(x)在(0，2)上是减函数。 令，∴. 设，∴. 设∴， ∴在上是减函数，∴. ∴，即在上是减函数，∴. ∴， ∵F(x)在(0，2)上是减函数，∴. C 详解：f (x)dx＝x2d