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必修1第一章 集合与函数概念.
必修1
第一章 集合与函数概念
第一课 集合
[知识梳理]
1.集合:某些指定的对象集在一起成为集合。
(1)集合中的对象称元素,若a是集合A的元素,记作;若b不是集合A的元素,记作;
(2)集合中的元素必须满足:确定性、互异性与无序性;
确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立;
互异性:一个给定集合中的元素互不相同,因此,同一集合中不应重复出现同一元素;
无序性:集合中不同的元素之间没有前后差异,集合中的元素与排列顺序无关;
(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法;
列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内;
描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内。
具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。
(4)常用数集及其记法:
非负整数集(或自然数集),记作______;正整数集,记作N*或_____;
整数集,记作____;有理数集,记作_____;实数集,记作____。
2.集合的包含关系:
(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素,则称A是B的子集(或B包含A),记作AB(或);
集合相等:构成两个集合的元素完全一样。若AB且BA,则称A等于B,记作A=B;若AB且A≠B,则称A是B的真子集,记作A_____B;
(2)简单性质:1)AA;2)A;3)若AB,BC,则AC;4)若集合A是n个元素的集合,则集合A有_____个子集(其中_____个真子集);
3.全集与补集:
(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集,记作U;
(2)若S是一个集合,AS,则,=称S中子集A的补集;
(3)简单性质:1);2),=S。
4.交集与并集:
(1)一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做集合A与B的交集。交集。
(2)一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。。
注意:求集合的并、交、补是集合间的基本运算,运算结果仍然还是集合,区分交集与并集的关键是“且”与“或”,在处理有关交集与并集的问题时,常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件,结合Venn图或数轴进而用集合语言表达,增强数形结合的思想方法。
5.集合的简单性质:
(1)
(2)
(3)
(4);
(5),。
[特别提醒]
1.研究集合问题,一定要理解集合的意义——抓住集合的代表元素.
如{x|y=} ——函数y=的定义域;{y|y=} ——函数y=的值域;{(x,y)|y=} ——函数y=图象;{x|f(x)=0} ——方程f(x)=;{x|f(x)0} ——不等式f(x)0的解集。
如(1)设集合M={x|y=},集合N={y|y=x2,x∈M},则M∩N=________;
.数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具,在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题.如已知函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间[-1,1]上至少存在一个实数c,使f(c)0,则实数p的取值范围是__________..遇到A∩B=时,注意到“极端”情况A=或B= ;同样当AB时不要忘记A=的情形要注意到是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
如集合A={x|ax-1=0},B={x|x2-3x+2=0},且A∪B=B,则实数a=____________.
..已知全集,集合和的关系的韦恩(Venn)图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
.,则 ( )
A. B. C. D.
练习4.,,若,则的值为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.4
练习5.已知集合,,则. . . .
.{y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)0},B={y|y2-6y+8≤0},若A∩B≠φ,则实数a的取值范围为 .
[提示]解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况这时可从反面去考虑从反面考虑问题在补集思想.,A={1,}如果,则这样的实数是否存在?若存在,求出,若
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