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第十八章 勾股定理 18.1 勾股定理 第一课时 勾股定理（一） 一、回眸历史，感悟辉煌 【显示投影片1】 内容1：公元前572～前492年，古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯，他在一次朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面中用了直角三角形三边的某种数量关系，请同学们一起来观察图中的地面（显示投影图片a），你能发现什么呢？（图片见课本图P72）． 【活动方略】 教师活动：操作投影仪，讲述毕达哥拉斯的故事（上网收集），引导学生观察该图片，发现问题． 学生活动：观察、听取老师的讲述，从中发现图片a中含有许多大大小小的等腰直角三角形． 内容2：用图片置示学生的发现，引导学生继续发现． 教师活动：教师提问：同学们，你能发现课本图18．1-1中的等腰直角三角形有什么性质吗？ 学生活动：与同伴合作探讨，从网格图中不难发现下面的现象：图18．1-1右边的三个正方形SⅠ=SⅡ，SⅢ=SⅠ+SⅡ，即以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等请同学们观察图18．1-2，设定每个小方格的面积均为1，（1）分别计算图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积；（2）观察其中的规律，你能得出什么结论？与同伴交流． 学生活动：分四人小组，讨论，并踊跃发表自己的看法． 思路点拨：实际上，以斜边为边长的正方形的面积，等于某个正方形的面积减去4个直角三角形的面积． 【设计意图】通过历史情境引入，使学生感受到古代文明的成就．在大自然中，看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的哲理，激发学生的求知欲． 二、合作探究，体验发现 【问题牵引】 猜想：如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（命题1） 教师活动：介绍我国的赵爽证法，充分应用拼图（课本P74 图18．1-3），解释“命题1”的，让学生领悟勾股定理的推理；为了加深学生对勾股定理的理解，设计下面的“阅读理解”． 阅读与填空：（显示投影片3） 全世界许多国家的数学家以及数学爱好者都曾为勾股定理的证明付出过努力，作出过贡献，这使得这一定理至今已有几百种不同的证法． 下面介绍的是古希腊数学家欧几里得（公元前330～前275年）给出的证明．为了使读者更好地理解这个证明，并且从中获得提高几何证题能力与思维能力的收获，对证明过程做了一些推想，请读者边阅读，边思考，并完成填空． 为了使阅读能够顺利进行，首先来做一项准备工作，即对图的局部做如下分析： 图中的四边形BHJC是正方形，作HM⊥AB，交AB的延长线于M，在△CBK与△BHM中，∵BC=BH，∠CBK=∠_____（填∠BHN），∠CKB=∠BMH，∴△CBK≌△BHM（ ）（填AAS）． ∴BK=HM． 现在来看欧几里得是怎样证明勾股定理的． 这位几何大师的出发点，与课本中用拼图方法给出的证明的出发点是相同的：都是把一条线段的平方看作是以这条线段为边的________（填：正方形的面积）． 从这样的想法出发，欧几里得是为了证明“a2+b2=c2”， 欧几里得可能是想到当一条直线从AE所在直线的位置开始，在保持与AE平行的前提下逐步向BD移动时，一定有一个时刻，把正方形ABDE分成的两部分的面积恰好分别等于a和b． 上述特殊的位置究竟在何处呢？欧几里得大概是注意到了图形中一个极为特殊的点──点C，决定仔细考虑过点C并且与ED垂直的直线． 于是，欧几里得首先引出这样辅助线：过点C作CL⊥ED，交AB于K，交ED于L． 下面是这位杰出的数学家在引出上述辅助线后继续进行探索的结晶． 连结CH、AH、KD，则由∠ACB=90°及四边形CBHJ知AC∥BH，点A与点C到直线BH的距离_______（填：相等），又因为△ABH与△CBH有公共边________（填BH），所以S△ABH=S△CBH（ ）（填：等底等高面积相等）；再把△ABH看作是以AB为底的三角形，则其高为_______（填HM），由于AB=_______（填BD），HM=_______（填：BK），所以，S△ABH=S△BDK（ ）（等底等高面积相等），∴S△BDK=S△CBH（ ）（填：等量代换）．而S△CBH=a2，S△BDK=S矩形DBKL，∴a2=S矩形DBKL ①同理可证，b2=S矩形AELK②． 把①②相加，就得到a2+b2=S长方形DBKL+S长方形AELK，即a2+b2=c2． 学生活动：观察、讨论，得到必须应用