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第四章 大数定律与中心极限定理 4.1 设为退化分布： 讨论下列分布函数列的极限是否仍是分布函数？ 解：（1）（2）不是；（3）是。 4.2 设分布函数如下定义： 问是分布函数吗？ 解：不是。 4.3设分布函数列弱收敛于分布函数，且为连续函数，则在上一致收敛于。 证：对任意的，取充分大，使有 对上述取定的，因为在上一致连续，故可取它的分点：，使有，再令，则有 （1） 这时存在，使得当时有 （2） 成立，对任意的，必存在某个，使得，由（2）知当时有 （3） （4） 由（1），（3），（4）可得 ， ， 即有成立，结论得证。 4.5 设随机变量序列同时依概率收敛于随机变量与，证明这时必有。 证：对任意的有，故 即对任意的有成立，于是有 从而成立，结论得证。 4.6 设随机变量序列，分别依概率收敛于随机变量与，证明： （1）；（2）。 证：（1）因为故 即成立。 （2）先证明这时必有。对任给的取足够大，使有成立，对取定的，存在，当时有成立这时有 从而有 由的任意性知，同理可证，由前述（1）有 故，结论成立。 4.7 设随机变量序列，是一个常数，且，证明。 证：不妨设对任意的，当时有， 因而。于是有 。 结论成立。 4.9 证明随机变量序列依概率收敛于随机变量的充要条件为： 证：充分性，令，，则，故是的单调上升函数，因而，于是有 对任意的成立，充分性得证。 必要性，对任给的，令，因为，故存在充分大的使得当时有，于是有 ， 由的任意性知，结论为真。 4.10 设随机变量按分布收敛于随机变量，又数列，，证明也按分布收敛于。 证：先证明按分布收敛于。时为显然，不妨设（时的修改为显然），若，，，的分布函数分别记作，，与，则=，当是的连续点时，是的连续点，于是有 成立，结论为真。由4.12知，再由4.6(1)知，于是由前述结论及4.11知按分布收敛于，结论得证。 4.11设随机变量序列按分布收敛于随机变量，随机变量序列依概率收敛于常数，证明按分布收敛于。 证：记的分布函数分别为，则的分布函数为，设是的连续点，则对任给的，存在，使当时有 （1） 现任取，使得都是的连续点，这时存在，当时有 （2） （3） 对取定的，存在，当时有 （4） 于是当时，由（1），（2），（4）式有 又因为 于是由（1），（3），（4）式有 （6） 由（5），（6）两式可得 由的任意性即知按分布收敛于，结论得证。 4.12设随机变量序列按分布收敛于，随机变量序列依概率收敛于，证明 . 证：记的分布函数分别为，对任给的，取足够大，使是的连续点且 因为，故存在，当时有 令，因为，故存在，当时有 而 其中，当时有 因而，由的任意性知，结论为真。 4.13 设随机变量服从柯西分布，其密度函数为 证明。 证：对任意的，有 故。 4.14 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为 其中为常数，令，证明。 证：对任意的，为显然，这时有 对任意的，有 故成立，结论得证。 4.15 设为一列独立同分布随机变量，其密度函数为 令，证明。 证：设的分布函数为，有 这时有 对任意的，有 故成立，结论得证。 4.17设为一列独立同分布随机变量，都服从上的均匀分布，若，证明。 证：这时也是独立同分布随机变量序列，且 由辛钦大数定律知服从大数定理，即有，令，则是直线上的连续函数，由4.8题知 结论成立。 4.18设为一列独立同分布随机变量，每个随机变量的期望为，且方差存在，证明。 证：已知，记，令，则 对任给的，由契贝晓夫不等式有 故，结论得证。 4.19设为一列独立同分布随机变量，且存在，数学期望为零，证明。 证：这时仍独立同分布，且，由辛钦大数定律知结论成立。 4.21 设随机变量序列按分布收敛于随机变量，又随机变量序列依概率收敛于常数，则按分布收敛于。 证：由4.7题知，于是由4.12题有，而按分布收敛于（见4.10题的证明），因而由4.11题知 按分