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教学内容（含时间安排） 板书或旁注 第四章 微分中值定理与导数的应用 中值定理（2课时） 要求：理解罗尔中值定理与拉格朗日中值定理。了解柯西中值定理。 重点：理解中值定理及简单的应用。 难点：中值定理证明的应用。 一、罗尔(Rolle)定理 罗尔定理 如果函数满足条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导； （3）． 则在开区间内至少有一点，使得函数在该点的导数等于零，即． 几何解释 设曲线的方程为，罗尔定理的条件的几何表示，是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标相等，结论是曲线弧上至少有一点C，使该点处曲线的切线是水平的．从图中看到，在曲线的最高点或最低点处，切线是水平的，这就启发了我们证明这个定理的思路，应在函数取最值点处找． 例1．验证罗尔定理对函数在上的正确性． 证明 因为函数在闭区间上连续，可导． 且 函数在区间上满足罗尔定理条件，所以在区间内存在使得， 于是 ． 故确实在区间内至少存在一点使得，结论成立． 二、拉格朗日中值定理（微分中值定理） 几何分析 拉格朗日中值定理 设函数满足条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导． 则在区间内至少存在一点，使得等式 成立． 推论1 如果函数在区间I上的导数恒为零，那么函数在区间I上是一个常数（它的逆命题也成立）． 例2．试证 ． 证明 构造函数， 因为函数在上可导，且 由推论得 ，， 当时，， 从而 ． 推论2．如果函数在区间I上连续、可导，且，则在I上有．（如何证明？） 例3．证明不等式 ． 证明 设函数， 因为函数在上满足拉氏定理条件，则有 ， 由于，，因此上式成为 ， 又由于，有 ， 从而 （）． 说明 利用拉格朗日中值公式证明不等式关键是选择函数及对应的区间，步骤如下， （1）选择适当函数及相应区间，使其满足定理的条件，有 ； （2）在区间上找出导函数最大（小）值，即有， 于是得到不等式 ． 三、柯西中值定理（广义微分中值定理） 柯西中值定理 如果函数及满足条件 （1）在闭区间上连续； （2）在开区间内可导，且， 则在区间内至少有一点，使等式 成立． 说明 （1）公式中的是同一值，即（）； （2）当时，，正是拉氏中值公式； 三个定理联系，罗尔定理拉氏定理柯西定理． 作业 习题4.1 洛必达法则（2课时） 要求：知道洛必达法则成立的条件，能熟练的用洛必达法则求求各种不定式的极限。 重点：利用罗比塔法则求未定式的极限。 难点：利用罗比塔法则求幂指函数的极限。 一、不定式 依照极限运算法则求某些函数的极限时，常会遇到几种奇怪的现象 ，，， ,，，，这些都称为不定式或未定式，究竟这种极限是否存在？如何计算这些极限呢？下面介绍的洛必达法则就是求基本不定式“”极限的一个简单方法．它的理论依据是柯西中值定理． 二、基本不定式 1．“”型不定式 定理1 若函数满足下列条件 （1）； （2）在点的某空心邻域内、存在，且； （3）存在（或为无穷大）； 则 ． (利用柯西中值定理 ，将函数与其导数联系起来．) 注意 （1）使用洛必达法则时，要注意条件，首先必是型的不定式，再极限存在或无穷大，若极限不存在或非无穷大，则不可以使用洛必达法则； （2）如果极限仍为型不定式，且满足定理条件，可继续使用洛必达法则． 例1．求极限． 解 ． 注意 上式中的极限已不是不定式，不能对它再使用洛必达法则． 例2．求极限． 解 （或=）． 例3．求极限． 解 ==． 例4．求极限． 解 = =． 注意 （3）应用洛必达法则求极限，常与以前讲过的方法结合起来使用会更方便； （4）应用洛必达法则求极限过程中，极限存在且不为零的因子可分离出来，以便化简后面求解过程． 定理2 若函数满足下列条件 （1）； （2）当时，都存在，且； （3）存在（或为无穷大）； 则 =． （证明时令，则时，，应用定理1即可证）． 例5．求极限． 解 ==1 2．型不定式 定理3 若函数满足下列条件 （1）， ； （2）当时，都存在，且； （3）存在（或为无穷大）； 则 =． 说明 定理3对时仍成立． 求