(第四章数值积分.docVIP

第四章 数值积分 定积分的产生是有它重要的应用背景。例如要计算由数据点所围成的平面图形的面积；计算极限，这些问题都与定积分有关。在数学分析或高等数学中已讲过计算定积分的一些方法，这些方法其最主要的理论基础就是被积函数的原函数存在。但在实际应用和科学计算过程中，有些定积分的被积函数的原函数不存在或原函数比较复杂或不易求出，这时牛顿-莱布尼茨公式就不好用了。例如定积分 ， 等其被积函数的原函数不存在。再例如由数据点所围成的平面图形的面积不能精确的表示成定积分，但可以近似的表示为数据点对应的某个函数的定积分。对这类问题可以用数值积分的方法来讨论和解决。数值积分的应用是较广泛的，尤其在一些实际问题的研究和解决中数值积分法起到了重要的作用，见文献[17，20]。 4.1 数值积分初步 所谓数值积分就是用函数值的线性组合近似函数的积分值。就是说，如果函数在区间上的函数值已知，则构造一个数值公式，以此来近似，即 （4.1） 构造数值公式（4.1）的主要方法是利用插值法，即对构造一个插值多项式，用该插值多项式的积分近似，即 （4.2） 1 梯形公式 若函数在区间上的函数值已知，那么可以做出过点的线性插值 在区间上用代替得 = （4.3） 公式（4.3）称为梯形公式，记为。公式（4.3）的几何意义就是用梯形面积近似由所围成的曲边梯形的面积，见图4.1。 2 抛物线公式 设函数在区间上的函数值已知，记，那么可以做出过点的抛物线，即有二次插值多项式 记，在区间上用代替得 （4.4） 公式（4.4）称为公式，记为 (4.5) 或 。 (4.5) 公式（4.4）的几何意义就是用抛物线所围成的曲边梯形面积近似由所围成的曲边梯形的面积，所以公式（4.4）也称为抛物线公式，见图4.2。 3 牛顿-科茨公式 如果函数在区间上的函数值已知，则对可以做出次插值多项式 其中是次基插值函数，现用来近似，所以有 （4.6） 其中 （4.7） 此时把公式（4.6）称为插值型数值积分公式。 现设，且把区间分成个相等的小区间，记每个小区间的长度为，即，所以有。令，则有，这时有 （4.8） 引进记号 （4.9） 则，这时公式（4.6）可写成 （4.10） 公式（4.10）称为牛顿-科茨()公式，称为牛顿-科茨系数。利用公式（4.9）可以计算出常用的牛顿-科茨系数(),计算结果见表4.1。 例1 试用梯形求积公式、抛物线求积公式、牛顿-科茨求积公式计算定积分 解 （1）利用梯形求积公式有 （2）用抛物线公式计算，因，所以有 （3）若用的牛顿-科茨求积公式，因，，并由表4.1得 而定积分的具有7位有效数字的准确值为 表4.1 1 2 3 4 5 6 4.2 复化数值积分公式 从以上例1的计算结果可以看到，一般情况下，抛物线求积公式和牛顿-科茨求积公式要比梯形求积公式好，其主要原因是推导抛物线求积公式和牛顿-科茨求积公式时把积分区间等分的个数（分别为2个和4个）比梯形公式的区间个数（1个）多。但对某些函数抛物线求积公式并不一定要比梯形求积公式好，如图4.3的情况。但是无论是哪一类的函数，只要被积函数在积分区间上有定义，那么不断增加积分区间的等分的个数时，求积公式得到的结果会逐步的逼近原定积分的精确值。所以考虑到数值求积公式的准确性，先把积分区间分成个相等的小区间，记每个区间长度为，在小区间上利用梯形公式得 所以有 （4.11） 该公式称为复化梯形公式，公式（4.11）的几何意义是用若干个小梯形面积之和来近似由所围成的曲边梯形的面积，见图4.4。 与推导复化梯形公式的方法相同，若