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所得税交纳点选址的数学模型.
所得税交纳点选址的数学模型
试题:所得税交纳点选址
所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。下图是该城市主要区和主要道路的示意图。区旁边的黑体数字表示该区居民数目,单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离,单位为千米(斜体字)。为覆盖整个城市,所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。请建立数学模型给出三个纳税点安排的最佳方案。
摘要
所得税管理部门计划对某个城市的所得税交纳点网络进行重新设计。如图所示,区旁边的黑体数字表示该区居民数目,单位为千人。在连区之间的弧上标出了它们之间的距离,单位为千米(斜体字)。为覆整个城市,所得税管理部门决定在三个区设置纳税点。
首先我们将问题参数化,建立数学模型。然后利用穷举法计算出每个点到所指定的三个纳税点的距离,再利用弗洛依德算法得出距离矩阵,并结合 math lab等程序(C语言、Lingo),得出其与人数加权后的距离矩阵。
最后得出在1,6,和11 设置纳税点为最佳。1,2,5,7区 的居民去1区 的纳税点缴税,3,4,6,9 区的居民去6 区的纳税点缴税,8,10,11,12区的居民去11区 的纳税点缴税。
我们的模型虽然简单,但合理、实用,可以被各领域针对自己的情况应用到工作计划中去,指导他们的实际工作。
模型的总体假设
假设纳税点集中在每个区的中心;
假设限定每个区的居民只能到一个纳税点缴税;
假设三个纳税点之间无特定联系;
不考虑“道路难度系数”(即实际路程、地面情况及障碍物等);
不考虑路程与时间的关系(即选出的是人数和距离加权后最小的纳税点,而非时间最短);
不考虑居民的迁入迁出,即假定该区居民数目稳定;
不考虑居民的主观因素(如个人偏好,或者因最近纳税点人多而临时改变纳税点等);
模型的建立与求解
◆第一步:模型的建立
根据假设一,每个纳税点集中在每个区的中心,可能的位置有12种,则三个纳税点的组合至多有=12*11*10/6=220个。可将问题参数化。
参数的假定:
① i、j、k——所选纳税点的区号;(共有=220种选择方案)
② m——区号数;(m=1、2、3…12)
③ ——m区的居民数,单位为千人;
④ 、、——分别表示m区到i、j、k区(即所选纳税点)的最小距离;
⑤ =Min[,,]即m区到三个纳税点的最小距离;
则问题可以表述为:
求目标函数:Min[Z(i,j,k)]=
◆第二步:模型的求解(考虑用穷举法)
一、距离矩阵的建立
1、i=1,j=2,k=3(即所选的三个纳税点为1区,2区,3区);
(1)m=1,2,3时,显然, =0;=0;=0(即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小,距离为0)
(2)m=4时,由题图显然:
=55(4——3——2——1);
=40(4——3——2);
=18(4——3);
=min(,,)==18;
……
(10) m=12时,由题图显然:
=67(12——9——5——1);
=61(12——9——3——2);
=39(12——9——3);
=min(,,)==39;
2、 i=1,j=2,k=4 (即所选的三个纳税点为1区,2区,4区);
(1) m=1,2,4时,显然,=0;=0;=0(即纳税点所在居民到本区纳税的距离最小,距离为0。
(2)m=3时,由题图显然:
=37(3——2——1);
=22(3——2);
=18(3——4);
=min(,,)==18;
……
(10) m=12时,由题图显然(以此类推):
……
以此类推,可得距离矩阵如下:
二、距离与人数的加权
与人数加权后的距离矩阵如下:
由公式Min[Z(i,j,k)]=结合与人数加权后的距离矩阵可得结果为:加权后的最小距离和为2438;在1,6,和11 设置纳税点为最佳。1,2,5,7区 的居民去1区 的纳税点缴税,3,4,6,9 区的居民去6 区的纳税点缴税,8,10,11,12区的居民去11区 的纳税点缴税。
三、 将上述求解过程程序化(以Math lab为主,C语言程序、Lingo 的程序及运行结果见附录)
Math lab思考过程及程序如下:
第一步,用标号法求出每一个顶点vi至其它各个顶点vj的最短路径长度dij(i,j = 1,2,…,12),并将其写成如下距离矩阵:
ShortDistance=
第二步,以各顶点的载荷(人口数)加权,求每一个顶点至其它各个顶点的最短路径长度的加权和,并将其写成如下距离矩阵:
ShortPath=
第三部,用穷举法任选三点,求其他九点中的任意一点到该三点的加
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