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拔高训练四之十字相乘法把二次三项式分解因式_(含答案).
【知识精读】
对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法,重点是运用公式
进行因式分解。掌握这种方法的关键是确定适合条件的两个数,即把常数项分解成两个数的积,且其和等于一次项系数。
对于二次三项(a、b、c都是整数,且)来说,如果存在四个整数满足,并且,那么二次三项式即可以分解为。这里要确定四个常数,分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂,因此一般要借助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】
1. 在方程、不等式中的应用
例1. 已知:,求x的取值范围。
分析:本题为二次不等式,可以应用因式分解化二次为一次,即可求解。
解:
例2. 如果能分解成两个整数系数的二次因式的积,试求m的值,并把这个多项式分解因式。
分析:应当把分成,而对于常数项-2,可能分解成,或者分解成,由此分为两种情况进行讨论。
解:(1)设原式分解为,其中a、b为整数,去括号,得:
将它与原式的各项系数进行对比,得:
解得:
此时,原式
(2)设原式分解为,其中c、d为整数,去括号,得:
将它与原式的各项系数进行对比,得:
解得:
此时,原式
2. 在几何学中的应用
例. 已知:长方形的长、宽为x、y,周长为16cm,且满足
,求长方形的面积。
分析:要求长方形的面积,需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
解:
或
又
解得:或
∴长方形的面积为15cm2或
3、在代数证明题中的应用
例. 证明:若是7的倍数,其中x,y都是整数,则是49的倍数。
分析:要证明原式是49的倍数,必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
证明一:
∵是7的倍数,7y也是7的倍数(y是整数)
∴是7的倍数
而2与7互质,因此,是7的倍数,所以是49的倍数。
证明二:∵是7的倍数,设(m是整数)
则
又∵
∵x,m是整数,∴也是整数
所以,是49的倍数。
4、中考点拨
例1.把分解因式的结果是________________。
解:
说明:多项式有公因式,提取后又符合十字相乘法和公式法,继续分解彻底。
例2.
因式分解:_______________
解:
说明:分解系数时一定要注意符号,否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示
例1. 若能分解为两个一次因式的积,则m的值为( )
A. 1 B. -1 C. D. 2
解:
-6可分解成或,因此,存在两种情况:
由(1)可得:,由(1)可得:
故选择C。
说明:对二元二次多项式分解因式时,要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积,再通过待定系数法确定其系数,这是一种常用的方法。
例2. 已知:a、b、c为互不相等的数,且满足。
求证:
证明:
说明:抓住已知条件,应用因式分解使命题得证。
例3. 若有一因式。求a,并将原式因式分解。
解:有一因式
∴当,即时,
说明:由条件知,时多项式的值为零,代入求得a,再利用原式有一个因式是,分解时尽量出现,从而分解彻底。
【实战模拟】
1. 分解因式:
(1) (2)
(3)
2. 在多项式,哪些是多项式的因式?
3. 已知多项式有一个因式,求k的值,并把原式分解因式。
4. 分解因式:
5. 已知:,求的值。
【试题答案】
1.
(1)解:原式
(2)解:原式
(3)解:原式
2.
解:
∴其中是多项式
的因式。
说明:先正确分解,再判断。
3.
解:设
则
解得:
且
说明:待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法,所给多项式是三次式,已知有一个一次因式,则另一个因式为二次式,由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.
解:简析:由于项数多,直接分解的难度较大,可利用待定系数法。
设
比较同类项系数,得:
解得:
5.
解:
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