控制系统的能控性和能观测性..doc

第三章 控制系统的能控性和能观测性 3-1能控性及其判据 一：能控性概念 定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1 t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。 可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。 x2不能控 二：线性定常系统能控性判据 设系统动态方程为： 设初始时刻为t0=0，对于任意的初始状态x(t0)，有： 根据系统能控性定义，令x(tf)=0，得： 即： 由凯莱-哈密尔顿定理： 令 上式变为： 对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是QC满秩。 判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是： 能控性矩阵QC=[B，AB，A2B，…An-1B]满秩。 对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b] 如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对。 判据2：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n 例：设 试判断系统的能控性 解： 系统是不完全能控的。 若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明系统不能控。 例：图示电路，判断系统能控性条件。 解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为： 当（R1R4=R2R3）时，系统能控。否则系统不能控。 定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。 证： 判据3：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即： 此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。 证明见何p196{16} 例： 判断系统的能控性 解： 系统不能控。 判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。（证见何p199） 例： 判据5：设n维线性定常系统状态方程： 当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若λ1、λ2、…λm为其m个互异特征值，对应与某个特征值λi可以找到r（i）个独立的特征向量，则与λi相对应的约当块Ai中有r（i）个约当块，即： 相应地，设： 系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中： 例： 系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。 判据6：PBH判别法 线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λi-A，B]=n，（i=1、2、…n） 三：线性时变系统的能控性判据 定义：设线性时变系统状态方程为： 对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1 t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。 定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵： 为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。 证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。 由于非奇异，令： 则： 说明系统是能控的。 必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。 由于是奇异的，故的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)= αT,则: 说明α=0,矛盾。 线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵： 或 为非奇异矩阵。 定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。 线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关。 定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得： 则系统在t0是能控的。其中： 本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。 四：线性定常系统的输出能控性 设线性定常系统动态方程为： 如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到任意输出y(tf)，则称这